n=2 情形下均值不等式的证明

luyuanhong

n=2 情形下均值不等式的证明

来源：接地气数学 2024 年 07 月 04 日 21:58 广东

Part1 均值不等式



Part2 n=2 的情形



Part3 n=2 情形下的证明

波斯猫猫

对任意正数x和y， 有(x-y) ^2≥0.下面用分析法证明各不等式.

欲证√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2，只需证(a^2+b^2)/2≥(a+b)^2/4，或(a-b) ^2≥0.

欲证(a+b)/2≥√(ab)，只需证a+b-2√(ab)≥0，或(√a-√b) ^2≥0.

欲证√(ab)≥2/(1/a+1/b)，只需证(a+b)√(ab)≥2ab，或(a+b)/2≥√(ab).

从而，√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2≥√(ab)≥2/(1/a+1/b).