求球的半径r

波斯猫猫

水平桌面上有一内壁光滑半径为r的球，向其内部投放表面光滑质量各为m的四个单位球，静止后，
这四个单位球两两相切，且它们的最高点恰为半径为r的球的球心，求r.

ataorj

添加4个小球后,正方体8个顶点就是小球和大球切点.
如图,为方便研究改变了单位1的定义,则大球半径为√3,
并设小球半径为r,则有:
(1-r)^2+xx=rr ,OD/ OC =√(2/3)=x/r,余略.

ataorj

一个球的正投影总是大小不变的圆，空间中和投影面不平行的（斜）线段投影却会比原样变小，上图正方体顶点应该在投影小圆的内部，且两小圆应该重叠相交

ataorj

可能是这样：两个顶点都在小圆内，但是上顶点对着我们，是可见的，下顶点相反。

ataorj

那个立体图的关键是大三角ABC平面上的图形关系，小圆只是示意，略微严格点应该示意为椭圆才好。后来提“球的投影”的说法并非非常恰当。最好是另外单独提供这个关键部分的平面图，小圆的图才是确实的圆，切点也才真如原图想表达的样子（这里仍然略过）。

波斯猫猫

题：水平桌面上有一内壁光滑半径为r的球，向其内部投放表面光滑质量各为m的四个单位球，静止后，

这四个单位球两两相切，且它们的最高点恰为半径为r的球的球心，求r.

思路：如局部图，四个单位球的球心构成一个棱长为2的水平放置的正四面体，根据对称性，O为球心，

G为O1O2O3的中心，且OG⊥水平平面O1O2O3。

（1）由正弦定理易算得O1G=2/√3。（2）由勾股定理易算得O4G=2√2/√3。（3）由勾股定理易算得

r-1=√(45+12√6)/3，即r=1+√(45+12√6)/3。