求证：√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2≥√(ab)≥2/(1/a+1/b)

波斯猫猫

求证：√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2≥√(ab)≥2/(1/a+1/b)，其中a，b∈R+.

对任意正数x和y， 有(x-y) ^2≥0.下面用分析法证明各不等式.

欲证√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2，只需证(a^2+b^2)/2≥(a+b)^2/4，或(a-b) ^2≥0.

欲证(a+b)/2≥√(ab)，只需证a+b-2√(ab)≥0，或(√a-√b) ^2≥0.

欲证√(ab)≥2/(1/a+1/b)，只需证(a+b)√(ab)≥2ab，或(a+b)/2≥√(ab).

从而，√[(a^2+b^2)/2]≥(a+b)/2≥√(ab)≥2/(1/a+1/b).  

这就是两个正数的平方平均数，算术平均数，几何平均数，调和平均数四者的关系.