伽马函数的历史

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伽马函数的历史

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 07 月 08 日 07:30 陕西

如果我要问你 1/2 的阶乘是多少，该如何回答呢？想要回答这个问题，就要看看欧拉的工作，大概在 1720 年左右，欧拉（Leonhard Euler）开始思考如何将阶乘扩展到非整数值。为了要理解欧拉的工作，我们首先回忆一下什么是阶乘，它很简单，只是前 n 个自然数的乘积。n! = n×(n - 1)×(n - 2)×…×3×2×1 ，举个例子，5! = 5×4×3×2×1 = 120 。

当然我们最早接触的阶乘，可能是在排列组合中的问题，比如假设书架上有 12 本书。你认为可以用几种方式摆放这些书？答案是 12！，这也是阶乘的组合学解释，它代表了我们可以排列事物的方法的数量。

并且我们还知道阶乘函数的增长速度非常快！事实上，它是超指数增长。也就是说，它比指数增长更快。



伽马函数

人们常说当欧拉思考一个问题时，这个问题通常最终会被解决。然而，真正让他变得伟大的，是他解决问题的方式。

我们很快就会看到，欧拉极具创意和想象力的做法，1738 年，欧拉提出了将阶乘写成积分形式，即：



其中 log 是自然对数（有时用 ln 表示）。简单的做一个变量代换，令 s=exp(-t)，其中 exp 是以 e 为底的指数函数，则：



因此，我们可以得出下面的表达式：



为了证明这个积分实际上是阶乘，我们把右侧的积分记为为 Π(n) ，并做一下简单的计算（分部积分）



下面我们将要证明，对于所有自然数 n ，Π(n) = n! 。

利用数学归纳法即可。

首先，请注意



接下来，假设 Π(n - 1) = (n - 1)! 那么我们有 Π(n) = n Π(n - 1) = n(n - 1)! = n! 通过归纳法，证明就完成了。真正有价值的东西在于在上述 Π(n) 的定义中，n 其实不一定是自然数。该表达式对所有实部为非负的复数都有意义。这正是欧拉对于阶乘函数的推广，现在被称为伽玛函数

重要的是，如果要推广阶乘，从特定的数学意义上讲，伽马函数是自然的选择。

有趣的是伽玛函数的形式有很多种，比如，它可以写成某个无穷积。不过要认识到这一点，我们需要准备些东西，首先便是指数函数的极限表达式：



使用洛必达法则，可以很好的证明这一点，不过这里我们试着采用另外一种方法，我们知道几何级数当 |x|＜1 有下面的闭式表达式：



将 x 的地方代入 -x ，我们就得到了：



对两边同时积分：



假设 n＞x ，可以用 z = x/n 进行变量替换。



现在，如果令 n 趋于无穷大，就可以得出：



有了这一结果，只需进行简单的计算，就能得出想要的结果。



通过变量替换，上面的表达式等价于：



将这一结果用于 Γ(z) 的定义中，得：



如果将极限内部的积分记为 I(n，z) ，通过简单的几次计算后，发现：



这种模式一直持续下去，直到最终去掉 1-t/n 项的指数时，即：



要想获得 Γ(z) ，只需令 n 趋于无穷即可：



这本身就是一个非常著名的结果，但我们不想就此打住。我们还可以对右边的极限进行一些操作：



进一步可以拆分指数:



e 的指数部分有欧拉常数的影子，回想一下，欧拉常数的定义



现在就可以得到伽马函数的魏尔斯特拉斯积。



在某些方面，这个乘积更好地刻画了伽玛函数，我们后面还会提到这一点。

欧拉反射公式

在研究伽玛函数的过程中，欧拉还将伽马函数与三角函数联系起来，得到下面的公式：



简单看一下证明，欧拉在解决巴塞尔问题时，发现了正弦函数的无穷乘积，如下所示：（巴塞尔，欧拉的数学遗产——从巴塞尔问题到黎曼 ζ 函数，巴塞尔问题的傅里叶级数解法）



我们暂且将这个无穷乘积当作已知的结果，刚刚又推导了伽玛函数的魏尔斯特拉斯积，即：



利用这个公式通过比较 Γ(z) 和 Γ(-z) 的乘积，就可以直接计算出下式：



而伽马函数具有下面的性质：

    Γ(1-z) = -z Γ(-z)

因而可以得出：



在上式中显然分母不能为 0 ，因而 z 不可能为整数。

伽马函数的应用

伽马函数几乎在数学的各个领域都随处可见。从统计、数论，复分析再到物理学中的弦理论。以数论为例，之所以重要，原因之一是它与黎曼 zeta 函数有着特殊的关系。让我们再看一遍定义，不过这次引入一个替换。假设 n 是一个自然数。那么通过代换 t=nx ，我们可以得到：



由于这对所有自然数 n 都成立，我们可以对两边求和，得到：



这样，就得出了 zeta 函数和 gamma 函数之间的美妙关系：



不过，这只适用于 Re(s)＞1 的情况。实际上黎曼在 1859 年发现了一个更深层次并且更有趣的结果，这里我们不会给出证明，而是直接陈述：



众所周知，zeta 函数是数论研究的一个核心，现在可以通过伽马函数提供一些信息。比如说，人们可以清楚地看到 ζ 函 数在负的偶数点上的平凡零点。这是因为，通过将 Γ(s) 解析延拓到整个复平面，可以看到它在非正整数处有极点。而由于左边的伽马因子在负偶数处发散，但右边的值是有限的，因此 ζ(s) 在这些点上必须为零。在理论物理学中，意大利理论物理学家加布里埃尔-威尼斯诺（Gabriele Veneziano）于 1968 年利用欧拉发现的贝塔函数来描述强相互作用介子。欧拉贝塔函数的定义也与伽玛函数有关系：

   Β(x,y) = Γ(x)Γ(y) / Γ(x+y) 。

这是弦理论中第一个已知的散射振幅，从某种意义上说是这个问题的唯一解决方案。这也与伽玛函数在负整数处的极点有关。另一个大家比较熟悉的与伽玛函数有关的结果就是，斯特林公式，它指出



即当 z 趋于无穷大时，上式两边它们的比值极限趋于 1 。

欧拉惊人的积分公式

在推导 Γ(s) ζ(s) 的积分公式时，我们曾对两边求和。但当时欧拉并没有这么做，而是做了一件更了不起的事情。他做了一个更一般的代换，然后利用他的创造力，得到了一个惊人有趣的公式，让我们看看他是如何做到的，以及这些公式是什么。



欧拉当时对复分析了解不多，但他有一种奇妙的直觉，因为他知道当 w 是正实数时，这种关系成立，所以他考虑了当 w 是满足 Re(w)＞0 的复数时会发生什么情况。现在令 w∈C ，Re(w)＞0 ，然后在上式两边对 w 进行复共轭，得：



现在有了一个绝妙的想法！欧拉说，让 w = a + bi ，w 的幅角参数是 θ ，模长 r ，这样 w = r exp(θi)。我们就可以用一种更有趣的方式来写上述公式：



这其实是一个包含了众多美好关系的超级公式。我们将其写成相应的实部和虚部（使用欧拉公式 e^(ix) = cosx + i sinx），得到：



利用这个神奇的公式，我们可以解决迪利克雷的积分问题。

迪利克雷积分

这是一个有趣的积分问题，即计算下面积分：



它有很多方法计算，但大多围绕拉普拉斯变换、二次积分，甚至费曼技巧！费曼积分技巧：积分符号下的微分技巧（含参变量积分），现在我们利用欧拉惊人的积分公式，将这个问题归纳为一个更普遍的结果，迪利克雷积分只是其中一个特例罢了。

为此，我们将首先使用欧拉反射公式重写正弦方程的左侧。不过，在此之前，我们可以回顾一下微积分，利用洛必达法则或者重要极限，我们知道：



对欧拉正弦积分公式的左侧进行一下变换（利用欧拉反射公式）



通过简单的极限运算我们知道：



还记得我们曾经写过：让 w = a + bi ，w 的幅角参数是 θ ，模长 r ，这样 w = r exp(θi) 。所以我们有：



因此，在右侧求极限，我们得到



注意，如果我们令 a 从 0 的右边趋于 0 ，那么对于所有不等于 0 的实数 b ，左手边将趋向于 π/2 。也就是说，以下等式成立：



b=1 ，显然就是迪利克雷积分。

伽马函数的解析延拓

到目前为止我们还有一件相当重要的事情没有讨论，回顾一下伽马函数的定义：



我们可以证明，只有当 Re(z)＞0 时，这个积分才会收敛。然而，在复分析中，全纯函数和亚纯函数有一个很好的性质，即对于一个定义域为 D 的函数 f ，如果存在另一个亚纯函数 g ，其定义域包含 D 作为子集，并且 f = g 在 D 的一个开子集（如果你不知道这是什么，可以认为是复平面中的一个小圆盘）上成立，那么 f = g 在整个D上也成立。此外，g 是唯一扩展 f 的函数，使得 f = g 在 D 上成立。也就是说，函数 f 只能以一种方式扩展到更大的域。当然可以有不同的表示方法，但本质都是一样的。

因此，尽管当 z 的实部为正实数时，上述定义没有问题，但我们需要记住，这只是伽马函数的一种表示方法。可以说，我们只从一个角度看待伽玛函数。现在我们再看看魏尔斯特拉斯的乘积，



可以证明，除了非正整数之外，所有复数 z 都收敛。因此，从某种意义上说，这种表示法更好，是一个全局的表示，而且这也表明伽马函数没有零点，并且在负整数和零处有极点。还有另一种方式可以延拓伽玛函数，回想一下

  Γ(z+1) = z Γ(z) 。

将其重新排列，就会发现：

  Γ(z) = Γ(z+1)/z 。

同样，我们可以得到：



这表明我们可以对伽玛函数进行解析延续，显示出它的非正整数极点。那么现在回到我们开篇提出的问题：

什么是 (1/2)!

由于对于所有非负整数 n ，Γ(n+1) = n！，因此我们可以通过计算 Γ(1/2 + 1) = Γ(3/2) 来赋予 1/2 意义。但我们该怎么做呢？首先要注意的是，通过函数方程 Γ(z+1)=zΓ(z) ，我们可以将问题简化一些:

Γ(3/2) = 1/2 Γ(1/2) 。

因此，只需找到 Γ(1/2) 即可。为此，我们在 z=1/2 的特殊情况下再次使用欧拉反射公式：



因此，我们现在可以解释为：



即使以实用主义的观点来看，伽玛函数也是相当具有意义的，好了，我们下期见吧。



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