2^99368963-1是梅森素数吗？

yangchuanju · 发表于 2024-8-19 05:42

网名“回家的鞋”2023-01-06在互联网上以《第52个梅森素数》为题发帖
（https://zhidao.baidu.com/question/1764158032253759748.html）

到目前仅发现51个梅森素数，最大的是M82589933（即2的82589933－1），有24862048位。
就如题主所述：我想用普通电脑，用特殊算法试试，但速度太慢了，不行，不能实现。（特殊算法就是指，仅仅算一步除法，进行初步判断，比如：一般人认为对于梅森数若指数p是4x+3型的奇数，指数p若是素数，且2p+1也是素数，则该梅森数可以被2p+1整除，若是不能整除呢？那就基本可以确定是素数了，这样的情况是很稀少的。比如99368963是个素数，2*99368963=198737927也是素数，2^99368963-1是否能被198737927整除呢？如果不能被整除，那就可能是素数，几乎是确定的。第51个梅森素数没有这个数大呢，如果这个数是素数就是第52个梅森素数。）
（后面的计算程序略）

yangchuanju · 发表于 2024-8-19 05:52

帖子转载在太阳先生的帖子《求证：c=mt，m=p，t=p》
http://www.mathchina.com/bbs/for ... page%3D1&page=2
后我俩进行了深入的交流，认为《第52个梅森素数》作者的观点不正确，兹将有关贴汇集于此，供其他网友参考。

yangchuanju · 发表于 2024-8-19 05:54

14楼
第52个梅森素数
到目前仅发现51个梅森素数，最大的是M82589933（即2的82589933－1），有24862048位。
就如题主所述：我想用普通电脑，用特殊算法试试，但速度太慢了，不行，不能实现。（特殊算法就是指，仅仅算一步除法，进行初步判断，比如：一般人认为对于梅森数若指数p是4x+3型的奇数，指数p若是素数，且2p+1也是素数，则该梅森数可以被2p+1整除，若是不能整除呢？那就基本可以确定是素数了，这样的情况是很稀少的。比如99368963是个素数，2*99368963=198737927也是素数，2^99368963-1是否能被198737927整除呢？如果不能被整除，那就可能是素数，几乎是确定的。第51个梅森素数没有这个数大呢，如果这个数是素数就是第52个梅森素数。）

yangchuanju · 发表于 2024-8-19 05:54

15楼
梅森素数的指数既有模4余3的，也有模4余1的：
序号       梅森素数指数       模4余
1       2       2
2       3       3
3       5       1
4       7       3
5       13       1
6       17       1
7       19       3
8       31       3
9       61       1
10       89       1
11       107       3
12       127       3
13       521       1
14       607       3
15       1279       3
16       2203       3
17       2281       1
18       3217       1
19       4253       1
20       4423       3
21       9689       1
22       9941       1
23       11213       1
24       19937       1
25       21701       1
26       23209       1
27       44497       1
28       86293       1
29       110503       3
30       132049       1
31       216091       3
32       756839       3
33       859433       1
34       1257787       3
35       1398269       1
36       2976221       1
37       3021377       1
38       6972593       1
39       13466917       1
40       20996011       3
41       24036583       3
42       25964951       3
43       30402457       1
44       32582657       1
45       37156667       3
46       42643801       1
47       43112609       1
48       57885161       1
49       74207281       1
50       77232917       1
51       82589933       1

yangchuanju · 发表于 2024-8-19 05:59

17楼 yangchuanju回复太阳贴
令2^99368963-1，你能证明对于所有的整数a和b（a≠1，b≠0，a≠b）不等式a^2*b+a*b^2-a^2c≠b^2都成立吗？

18楼太阳贴
指数p是4x+3型的奇数，指数p若是素数，且2p+1也是素数，则该梅森数可以被2p+1整除，若是不能整除呢？那就基本可以确定是素数了
梅森数中，指数p是4x+3型的奇数，有没有出现过反例？

20楼 yangchuanju贴
反例肯定是存在的，仅用2p+1试除一次肯定是不行的，
应该用那个大数平方根内的所有素数试除一遍才能最终确定！
在指数4万以内的梅森数中没有找到指数模4余3，2p+1是素数又不能整除的反例。

yangchuanju · 发表于 2024-8-19 06:08

24楼  太阳贴
2*99368963+1=198737927，素数198737927，(2^99368963-1)/198737927，肯定是可以整除的
2^p-1分成素因子，py+1形式，y是偶数
点评：
yangchuanju  观点正确！

25楼  太阳贴
一般人认为对于梅森数若指数p是4x+3型的奇数，指数p若是素数，且2p+1也是素数，则该梅森数可以被2p+1整除，若是不能整除呢？那就基本可以确定是素数了
不能整除是不存在的，没有任何意义，2^p-1分成素数乘积形式，py+1形式，py+1是素数，都是可以整除
点评：
yangchuanju  原贴内容来自网络，“若是不能整除呢？那就基本可以确定是素数了”，不正确！

26楼  yangchuanju贴
“若是不能整除呢？那就基本可以确定是素数了，这样的情况是很稀少的。”
按此说法，恐怕反例还是有的——很稀少的！

yangchuanju · 发表于 2024-8-19 06:09

23楼 yangchuanju贴
4万以内共有4203个素数，亦即有4203个指数不大于4万的梅森数；
其中梅森素数26个，完全分解的307个，不完全分解的3553个，没有找到一个素因子的317个；
4203个素指数之中，模4余2的1个，模4余1的2085个，模4余3的2117个；
在第一素因子不大于10的16次方的2978个梅森数中，模4余1的1450个，模4余3的1527个；
对1527个模4余3的梅森数指数对应的2p+1进行因数分解，可知内有281个素数，这281个2p+1型素数全都是对应梅森数的第一素因子（包括梅森素数2^3-1=7），
可知指数不大于4万的梅森数，若指数p对应的2p+1是素数，则2p+1都能整除梅森数，是这些梅森数的第一素因子（包括梅森素数2^3-1=7）；
没有2p+1是素数，不能整除梅森数的反例！
其余梅森数指数对应的2p+1都不是素数，它们的第一素因子减1与梅森数指数的比分别是8,10,16,18,24,26，32,34，……6.96*10^11。

对于指数是模4余1型素数的梅森数，4万以内有191个2p+1型素数，但它们都不是梅森数的素因子；
指数是模4余1型素数的梅森数，第一素因子减1除以素指数分别等于6,8,14,16,22,24,30,32，……

yangchuanju · 发表于 2024-8-19 06:11

28楼 yangchuanju贴
在5023307以内的35万个素数(第35万个素数是5023307)之中，
共有15468个即是模4余3，对应的2p+1又是素数的素数对，（4万内共281对）；
可以肯定地说，这15468个梅森数都不是素数，它至少含有一个素因子2p+1的！
（第一个梅森素数2^3-1=7除外）

在10570841以内的70万个素数(第70万个素数是10570841)之中，
共有29561个即是模4余3，对应的2p+1又是素数的素数对；
可以肯定地说，这29561个梅森数都不是素数，它至少含有一个素因子2p+1的！
（第一个梅森素数2^3-1=7除外）

在1000万以内的664579个素数之中，
共有28091个即是模4余3，对应的2p+1又是素数的素数对；
可以肯定地说，这28091个梅森数都不是素数，它至少含有一个素因子2p+1的！
（第一个梅森素数2^3-1=7除外）

yangchuanju · 发表于 2024-8-19 06:22

梅森素数表
至2018年12月，总计发现51个梅森素数。现把它们的数值、位数、发现时间、发现者等列表如下：
M1～M12
序号 p 梅森素数位数发现时间发现者
1 2 3 1 古代古人
2 3 7 1 古代古人
3 5 31 2 古代古人
4 7 127 3 古代古人
5 13 8191 4 1456年无名氏
6 17 131071 6 1588年 Pietro Cataldi
7 19 524287 6 1588年 Pietro Cataldi
8 31 2147483647 10 1772年 Leonhard Euler
9 61 2305843009213693951 19 1883年 Ivan Mikheevich Pervushin
10 89 618970019642690137449562111 27 1911年 Ralph Ernest Powers
11 107 162259276829213363391578010288127 33 1914年 Ralph Ernest Powers
12 127 170141183460469231731687303715884105727 39 1876年 Édouard Lucas
M13～M34
序号 p 位数发现时间发现者计算机
13 521 157 1952 / 01 / 30 Raphael Mitchel Robinson SWAC
14 607 183 1952 / 01 / 30 Raphael Mitchel Robinson SWAC
15 1,279 386 1952 / 06 / 25 Raphael Mitchel Robinson SWAC
16 2,203 664 1952 / 10 / 07 Raphael Mitchel Robinson SWAC
17 2,281 687 1952 / 10 / 09 Raphael Mitchel Robinson SWAC
18 3,217 969 1957 / 09 / 08 Hans Riesel BESK
19 4,253 1,281 1961 / 11 / 03 Alexander Hurwitz IBM 7090
20 4,423 1,332 1961 / 11 / 03 Alexander Hurwitz IBM 7090
21 9,689 2,917 1963 / 05 / 11 Donald Bruce Gillies ILLIAC II
22 9,941 2,993 1963 / 05 / 16 Donald Bruce Gillies ILLIAC II
23 11,213 3,376 1963 / 06 / 02 Donald Bruce Gillies ILLIAC II
24 19,937 6,002 1971 / 03 / 04 Bryant Tuckerman IBM 360/91
25 21,701 6,533 1978 / 10 / 30 Landon Curt Noll & Laura Nickel CDC Cyber 174
26 23,209 6,987 1979 / 02 / 09 Landon Curt Noll CDC Cyber 174
27 44,497 13,395 1979 / 04 / 08 Harry Lewis Nelson & David Slowinski Cray 1
28 86,243 25,962 1982 / 09 / 25 David Slowinski Cray 1
29 110,503 33,265 1988 / 01 / 28 Walter Colquitt & Luke Welsh NEC SX-2
30 132,049 39,751 1983 / 09 / 19 David Slowinski Cray X-MP
31 216,091 65,050 1985 / 09 / 01 David Slowinski Cray X-MP/24
32 756,839 227,832 1992 / 02 / 19 David Slowinski & Paul Gage Harwell Lab's Cray-2
33 859,433 258,716 1994 / 01 / 04 David Slowinski & Paul Gage Cray C90
34 1,257,787 378,632 1996 / 09 / 03 David Slowinski & Paul Gage Cray T94
M35～M51
序号 p 位数发现时间发现者国家
35 1,398,269 420,921 1996 / 11 / 13 GIMPS / Joel Armengaud 法国
36 2,976,221 895,932 1997 / 08 / 24 GIMPS / Gordon Spence 英国
37 3,021,377 909,526 1998 / 01 / 27 GIMPS / Roland Clarkson 美国
38 6,972,593 2,098,960 1999 / 06 / 01 GIMPS / Nayan Hajratwala 美国
39 13,466,917 4,053,946 2001 / 11 / 14 GIMPS / Michael Cameron 加拿大
40 20,996,011 6,320,430 2003 / 11 / 17 GIMPS / Michael Shafer 美国
41 24,036,583 7,235,733 2004 / 05 / 15 GIMPS / Josh Findley 美国
42 25,964,951 7,816,230 2005 / 02 / 18 GIMPS / Martin Nowak 德国
43 30,402,457 9,152,052 2005 / 12 / 15 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone 美国
44 32,582,657 9,808,358 2006 / 09 / 04 GIMPS / Curtis Cooper & Steven Boone 美国
45 37,156,667 11,185,272 2008 / 09 / 06 GIMPS / Hans-Michael Elvenich 德国
46 42,643,801 12,837,064 2009 / 06 / 04 GIMPS / Odd Magnar Strindmo 挪威
47 43,112,609 12,978,189 2008 / 08 / 23 GIMPS / Edson Smith 美国
48 57,885,161 17,425,170 2013 / 01 / 25 GIMPS / Curtis Cooper 美国
49* 74,207,281 22,338,618 2016 / 01 / 07 GIMPS / Curtis Cooper 美国
50* 77,232,917 23,249,425 2017 / 12 / 26 GIMPS / Jonathan Pace 美国
51* 82,589,933 24,862,048 2018 / 12 / 07 GIMPS / Patrick Laroche 美国

yangchuanju · 发表于 2024-8-19 06:27

4万以内的281个第一素因子是2p+1型素数的梅森数指数
（其中第一个2^3-1=7是梅森素数除外）
指数第一素因子
3 7
11 23
23 47
83 167
131 263
179 359
191 383
239 479
251 503
359 719
419 839
431 863
443 887
491 983
659 1319
683 1367
719 1439
743 1487
911 1823
1019 2039
1031 2063
1103 2207
1223 2447
1439 2879
1451 2903
1499 2999
1511 3023
1559 3119
1583 3167
1811 3623
1931 3863
2003 4007
2039 4079
2063 4127
2339 4679
2351 4703
2399 4799
2459 4919
2543 5087
2699 5399
2819 5639
2903 5807
2939 5879
2963 5927
3023 6047
3299 6599
3359 6719
3491 6983
3539 7079
3623 7247
3779 7559
3803 7607
3851 7703
3863 7727
3911 7823
4019 8039
4211 8423
4271 8543
4391 8783
4871 9743
4919 9839
4943 9887
5003 10007
5039 10079
5051 10103
5171 10343
5231 10463
5279 10559
5303 10607
5399 10799
5639 11279
5711 11423
5903 11807
6131 12263
6263 12527
6323 12647
6491 12983
6551 13103
6563 13127
6899 13799
6983 13967
7043 14087
7079 14159
7103 14207
7151 14303
7211 14423
7643 15287
7691 15383
7823 15647
7883 15767
8111 16223
8243 16487
8663 17327
8951 17903
9059 18119
9371 18743
9419 18839
9479 18959
9539 19079
9791 19583
10091 20183
10163 20327
10271 20543
10331 20663
10691 21383
10799 21599
10883 21767
11171 22343
11471 22943
11519 23039
11579 23159
11699 23399
11783 23567
11831 23663
11939 23879
12011 24023
12119 24239
12203 24407
12263 24527
12671 25343
12791 25583
12899 25799
12923 25847
12959 25919
13451 26903
13463 26927
13619 27239
13763 27527
13883 27767
14159 28319
14303 28607
14699 29399
14783 29567
14831 29663
14879 29759
14939 29879
15791 31583
15803 31607
15923 31847
16091 32183
16811 33623
16823 33647
16883 33767
16931 33863
17159 34319
17183 34367
17291 34583
17351 34703
17579 35159
17939 35879
18131 36263
18191 36383
18443 36887
18731 37463
18803 37607
18899 37799
19163 38327
19319 38639
19391 38783
19559 39119
19751 39503
19919 39839
19991 39983
20063 40127
20411 40823
20759 41519
20771 41543
20879 41759
20939 41879
20963 41927
21011 42023
21179 42359
21383 42767
21419 42839
21611 43223
21803 43607
22079 44159
22259 44519
22271 44543
22343 44687
22751 45503
22943 45887
23099 46199
23279 46559
23339 46679
23459 46919
23603 47207
23819 47639
24203 48407
24239 48479
24551 49103
24611 49223
24683 49367
24971 49943
25523 51047
25643 51287
25703 51407
25799 51599
25919 51839
26111 52223
26459 52919
26879 53759
26891 53783
27143 54287
27479 54959
27539 55079
27551 55103
27743 55487
27983 55967
28019 56039
28403 56807
28499 56999
28559 57119
28571 57143
28643 57287
28751 57503
28859 57719
29339 58679
29363 58727
29483 58967
29531 59063
29723 59447
30323 60647
30671 61343
30851 61703
30983 61967
31019 62039
31151 62303
31319 62639
31799 63599
31859 63719
32003 64007
32159 64319
32531 65063
32771 65543
32843 65687
33023 66047
33119 66239
33179 66359
33191 66383
33479 66959
33623 67247
34283 68567
34319 68639
34439 68879
34631 69263
34883 69767
35099 70199
35111 70223
35291 70583
35831 71663
35999 71999
36083 72167
36191 72383
36251 72503
36383 72767
36479 72959
36563 73127
36791 73583
36923 73847
37139 74279
37379 74759
37619 75239
37871 75743
37991 75983
38039 76079
38183 76367
38231 76463
38303 76607
38459 76919
38639 77279
38723 77447
38891 77783
39239 78479
39419 78839
39443 78887
39551 79103
39659 79319
39779 79559
39971 79943
39983 79967

		自动登录	找回密码
密码			注册