等差数列的这个公式是怎么来的？

luyuanhong

等差数列的这个公式是怎么来的？

原创 邵勇老师 数学教学研究 2024 年 07 月 08 日 09:36 北京



数学教学研究

波斯猫猫

通常思维方式，

设等差数列{an}的首项为a，公差为d，则Sp=pa+p(p-1)d/2=q，Sq=qa+q(q-1)d/2=p.

故，(p+q)a+p(p-1)d/2+q(q-1)d/2=p+q，且消去a得，p+q+pqd=-(p+q).

而S(p+q)=(p+q)a1+(p+q)(p+q-1)d/2=p+q-p(p-1)d/2-q(q-1)d/2+(p+q)(p+q-1)d/2

=p+q+pqd=-(p+q)，即S(p+q)=-(p+q).

原题，有3a+3d=5，5a+10d=3(易解出a和d)，当然S8=8a+28d=4(2a+7d)=4x(-2)=-8.

王守恩

\(题目:已知S_{3}=5,S_{5}=3,求:S_{8}=?\)

\(S_{3}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)=3a_{1}+3d=5,=>a_{1}+d=\frac{5}{3},5a_{1}+5d=\frac{25}{3},8a_{1}+8d=\frac{40}{3}\)

\(S_{5}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+(a_{1}+3d)+(a_{1}+4d)=5a_{1}+10d=(5a_{1}+5d)+5d=\frac{25}{3}+5d=3,=>5d=\frac{16}{-3}\)

\(S_{8}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+(a_{1}+3d)+(a_{1}+4d)+(a_{1}+5d)+(a_{1}+6d)+(a_{1}+7d)=8a_{1}+28d=(8a_{1}+8d)+4*5d=\frac{40}{3}+4*\frac{16}{-3}=-8\)

王守恩

\(解锁去枷！\)

\(S_{3}=3a_{1}+3d=5\ \ \ \ \ \ (1)\)

\(S_{5}=5a_{1}+10d=3\ \ \ \ \ \ (2)\)

\((2)*3-(1)*5:15d=-16\ \ \ (3)\)

\(S_{8}=8a_{1}+28d=(1)+(2)+(3)=-8\)