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非欧几里得几何:双曲几何和椭圆几何

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发表于 2024-8-20 17:42 | 显示全部楼层 |阅读模式
非欧几里得几何:双曲几何和椭圆几何

原创 Genawaken 王根的数学物理分享 2024 年 06 月 02 日 08:31 浙江

非欧几里得几何(Non-Euclidean Geometry)是研究在不满足欧几里得第五公设(平行公设)的空间中的几何结构和性质的几何学分支。非欧几里得几何主要包括两种类型:双曲几何和椭圆几何。

双曲几何(Hyperbolic Geometry)

在双曲几何中,通过给定点外的一条直线有无穷多条平行线。双曲几何的空间具有负曲率。

双曲几何的基本性质和数学公式

1. 平行公设:双曲几何的平行公设表述为:通过给定直线外的一点,有无穷多条直线与该直线不相交。

2. 双曲平面模型:

● Poincaré 圆盘模型:在 Poincaré 圆盘模型中,双曲平面被表示为单位圆盘内部的点,直线为圆盘内的弧线(与边界正交的圆弧)或通过圆盘直径的线段。
度量公式:



● 上半平面模型:在上半平面模型中,双曲平面被表示为复平面上虚部大于零的点,直线为半圆(以实轴为直径的半圆)或垂直于实轴的直线。度量公式:



3. 面积公式:双曲几何中,三角形的面积与其内角和相关。设一个双曲三角形的内角为 α,β,γ ,其面积 A 为:



其中,所有角度以弧度为单位。

椭圆几何(Elliptic Geometry)

在椭圆几何中,通过给定点外的一条直线没有平行线。椭圆几何的空间具有正曲率。

椭圆几何的基本性质和数学公式

1. 平行公设:椭圆几何的平行公设表述为:通过给定直线外的一点,没有任何直线与该直线平行。

2. 椭圆平面模型:椭圆几何可以通过在球面上定义几何关系来实现,通常称为球面几何。

● 球面模型:在球面模型中,直线被表示为大圆,即通过球心的平面与球面的交线。度量公式:



其中,r 是球的半径,θ 和 φ 是球坐标。

3. 面积公式:在球面几何中,球面三角形的面积与其内角和相关。设一个球面三角形的内角为 α,β,γ ,其面积 A 为:



其中,所有角度以弧度为单位,R 为球的半径。

非欧几里得几何中的一般性质

1. 三角形内角和:

在欧几里得几何中,三角形的内角和为 180 度(弧度)。

在双曲几何中,三角形的内角和小于 180 度。

在椭圆几何中,三角形的内角和大于 180 度。

2. 曲率:

双曲几何具有负曲率。空间中每一点的高斯曲率 K 为负值。

椭圆几何具有正曲率。空间中每一点的高斯曲率 K 为正值。

3. 平行线的行为:

在双曲几何中,通过一点外的给定直线有无穷多条不相交的直线。

在椭圆几何中,通过一点外的给定直线没有任何平行线。

总结

非欧几里得几何挑战了欧几里得几何的直观和经典公设,揭示了不同类型的几何结构和空间性质。通过研究双曲几何和椭圆几何,数学家们扩展了对几何和空间的理解,为现代物理学中的广义相对论和宇宙学提供了理论基础。

Genawaken

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