求 ∣x∣+∣y∣+∣z∣=1 围成的几何体的体积

波斯猫猫

求∣x∣+∣y∣+∣z∣=1围成的几何体的体积.

lihp2020

在空间明显是 关于坐标轴对称   就相当于只算 x>0y>0z>0 的部分 最后在*8
就是 一个椎体  体积是1/3 h*s =1/3 *1*(1/2) =1/6  
*8= 4/3

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以-x，-y，-z分别代x，y，z，方程∣x∣+∣y∣+∣z∣=1都不变，

故，以∣x∣+∣y∣+∣z∣=1的8个平面(局部)围成一个棱长为√2的正八面体V.

而V又被8个卦限分成全等的8个棱锥C-OAB，图示为第一卦限部分，

故，V=8×OA×OB×OC/6=8×1×1×1/6=4/3.

luyuanhong

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亦可：当z=0时，截面z=0上∣x∣+∣y∣=1为边长是√2的正方形ABCD，此正八面体V被平面z=0

分成全等的底面积为2高为1的两个正四棱锥E((F)-ABCD，故，V=2×2×1/3=4/3.

注：此两法给出了求正八面体体积的两种简便方法，一般有公式V=√2a^3/3(a是棱长).

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亦可：当z=0时，截面Z=0上∣x∣+∣y∣=1为边长是√2的正方形ABCD，此正八面体V被平面z=0

分成全等的底面积为2高为1的两个正四棱锥E((F)-ABCD，故，V=2×2×1/3=4/3.

注：此两法给出了求正八面体体积的两种简便方法，一般有公式V=√2a^3/3(a是棱长).