帕斯卡三角形与数学常数 e 的联系

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帕斯卡三角形与数学常数 e 的联系

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 07 月 19 日 07:30 陕西

人类既无法看到自己从中诞生的虚无，也无法看到自己陷入的无限。—— 布莱斯·帕斯卡（1623–1662）



早在 1500 年前，人们就开始对帕斯卡三角形进行研究，所谓的帕斯卡三角形，就是二项式系数表，我记得在我高中的时候，也经常考这个，不仅如此它与概率论、组合学、欧几里得几何、分形几何以及斐波那契数列等众多数学领域都有联系，而在这期推送中，我们还将发现它与常数 e 也有联系。



具体来说，e 可以通过对帕斯卡三角形的行乘积进行运算得出。简而言之，如果我们用 r(n) 表示第 n 行的乘积，那么:



则常数 e 可由下式得出：



寻找规律

为了说明如何发现上面的关系的，我们需要做一些数值上的计算，下面我们用 s(n) 表示帕斯卡三角形第 n 行数字的乘积，注意到这与我们上面用到的符号有所不同，上面我们是用 r(n) 的，因为帕斯卡三角形每一行的数字都是二项式的系数，所以 s(n) 可用下式表达：（注意通常帕斯卡三角形我们是从第 0 行开始，而不是第一行，这主要是为了与二项式展开相对应）





计算一下从第 0 行到第 7 行，我们发现，对于 0≤n≤7 ，s(n) 的值为：s(n)={1,1,2,9,96,2500,162000,26471025,…} 。我们同时计算一下后一项 s(n) 除以前一项 s(n-1) 的值：





看不出有什么规律，如果我们再计算下面连续表达式的比值：



就会发现这些值似乎朝着某种收敛的规律进行。如下所示



可以利用计算机，再取一些数据来证实猜测：



上面的数据表明，随着帕斯卡三角形的增长，这个值跟 e 的值越来越接近。

我们如何证明这一点？

这并不是一件困难的事，我们首先对 s(n) 做一下改写：



现在我们要找到两个比值：



和：



简单的代数运算：



两边取极限，右边实际是 e 的定义：



结论



欧拉在 1748 年的《无限分析导论》中使用了 e 的极限定义以及 (a + b)^n 的二项式展开式来推导 e 的经典的级数，



这个级数后来也构成了计算 e 的最快方法的基础。而这里我们通过解释帕斯卡三角形也提供了常数 e 的另一种极限诠释。



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