梅森数的广义LL检验余数列

yangchuanju · 发表于 2024-9-2 05:43

梅森数的广义LL检验余数列
众所周知，对于梅森数在用LL检验法检验时，
令r1=4，r2=r1^2-2 mod(Mp)，r3=r2^2-2 mod(Mp)，r4=r3^2-2 mod(Mp)，……
如果第p-1个余数是0，则梅森数Mp=2^p-1就是素数，否则梅森数Mp=2^p-1就是合数。
例:对于梅森素数M5=2^5-1=31，r1=4，r2=14，r3=8，r4=0；M7=2^7-1=127，r1=4，r2=14，r3=67，r4=42，r5=111，r6=0；
对于梅森合数M11=2^11-1=2047，r1=4，r2=14，r3=194，r4=788，r5=701，r6=119，r7=1877，r8=240，r9=282，r10=1736，……

M5=2^5-1=31
序号余数
1 4
2 14
3 8
4 0
M7=2^7-1=127
序号余数
1 4
2 14
3 67
4 42
5 111
6 0

M11=2^11-1=2047
序号余数
1 4
2 14
3 194
4 788
5 701
6 119
7 1877
8 240
9 282
10 1736

yangchuanju · 发表于 2024-9-2 05:47

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-2 05:55 编辑

对于2^11-1，当用r1=4进行LL检验时，始终没有余数0出现，
然而它的各个余数呈循环状态出现，循环节长60，从r2=14开始循环，各个余数依次是——
14 194 788 701 119 1877
240 282 1736 510 129 263
1616 1529 165 612 1988 1432
1575 1706 1647 332 1731 1598
993 1440 2034 167 1276 809
1486 1528 1202 1667 1108 1509
815 995 1322 1591 1187 631
1041 816 579 1578 930 1064
103 372 1233 1413 742 1966
418 727 401 1133 218 441
连同不参与循环的余数4，共61个不同的余数。

序号余数
1 4
2 14
3 194
4 788
5 701
6 119
7 1877
8 240
9 282
10 1736
11 510
12 129
13 263
14 1616
15 1529
16 165
17 612
18 1988
19 1432
20 1575
21 1706
22 1647
23 332
24 1731
25 1598
26 993
27 1440
28 2034
29 167
30 1276
31 809
32 1486
33 1528
34 1202
35 1667
36 1108
37 1509
38 815
39 995
40 1322
41 1591
42 1187
43 631
44 1041
45 816
46 579
47 1578
48 930
49 1064
50 103
51 372
52 1233
53 1413
54 742
55 1966
56 418
57 727
58 401
59 1133
60 218
61 441
62 14
……

yangchuanju · 发表于 2024-9-2 05:48

将r1换成1,2,3,4,5,6……2047，求模2047的余数，应该有2047种不同的余数列（包括余数0）。
2047种r1的余数列都成循环状态出现，循环节长和个数见下表：
循环节长个数
1 91
2 52
3 78
4 104
5 990
6 0
10 40
12 312
15 60
20 80
30 0
60 240
总计 2047

yangchuanju · 发表于 2024-9-2 05:50

循环节长等于1的共91个不同的r1值，循环节数字分别是-1,2,91,1957；各16,25,40,10个；
循环分别从r1、r2、r3或r4开始；
其中以2为循环节的r1=64,915,1132,1983的r2都等于0，但它们不能作为梅森数的素合性判断标准。
r1 r2 r3 r4 r5
64 0 -2 2 2
915 0 -2 2 2
1132 0 -2 2 2
1983 0 -2 2 2

循环节-1的上一个余数r是1,622,1425,2046；
循环节2的上一个余数r是-2,(2),803,1244,2045；
循环节91的上一个余数r是(91),714,1333,1956；
循环节1957的上一个余数r是90,711,1336,(1957)；
请注意各对r两两和等于2047——
1+2046=622+1425=(2)+2045=803+1244=(91)+1956=714+1333=90+(1957)=711+1336=2047。

yangchuanju · 发表于 2024-9-2 19:19

91种循环节长等于1的余数列
11 2047
r1 r2 r3 r4 r5
1 -1 -1 -1 -1
622 -1 -1 -1 -1
1425 -1 -1 -1 -1
2046 -1 -1 -1 -1
177 622 -1 -1 -1
444 622 -1 -1 -1
1603 622 -1 -1 -1
1870 622 -1 -1 -1
268 177 622 -1 -1
889 177 622 -1 -1
1158 177 622 -1 -1
1779 177 622 -1 -1
624 444 622 -1 -1
802 444 622 -1 -1
1245 444 622 -1 -1
1423 444 622 -1 -1
64 0 -2 2 2
915 0 -2 2 2
1132 0 -2 2 2
1983 0 -2 2 2
2047 -2 2 2 2
2 2 2 2 2
803 2 2 2 2
1244 2 2 2 2
2045 2 2 2 2
621 803 2 2 2
1426 803 2 2 2
623 1244 2 2 2
1424 1244 2 2 2
534 621 803 2 2
1513 621 803 2 2
87 1426 803 2 2
892 1426 803 2 2
1155 1426 803 2 2
1960 1426 803 2 2
25 623 1244 2 2
826 623 1244 2 2
1221 623 1244 2 2
2022 623 1244 2 2
598 1424 1244 2 2
1449 1424 1244 2 2
91 91 91 91 91
714 91 91 91 91
1333 91 91 91 91
1956 91 91 91 91
269 714 91 91 91
536 714 91 91 91
1511 714 91 91 91
1778 714 91 91 91
712 1333 91 91 91
1335 1333 91 91 91
890 1956 91 91 91
1157 1956 91 91 91
176 269 714 91 91
981 269 714 91 91
1066 269 714 91 91
1871 269 714 91 91
532 536 714 91 91
710 536 714 91 91
1337 536 714 91 91
1515 536 714 91 91
445 1511 714 91 91
1602 1511 714 91 91
89 1778 714 91 91
1958 1778 714 91 91
114 712 1333 91 91
737 712 1333 91 91
1310 712 1333 91 91
1933 712 1333 91 91
292 1335 1333 91 91
559 1335 1333 91 91
1488 1335 1333 91 91
1755 1335 1333 91 91
153 890 1956 91 91
1004 890 1956 91 91
1043 890 1956 91 91
1894 890 1956 91 91
509 1157 1956 91 91
687 1157 1956 91 91
1360 1157 1956 91 91
1538 1157 1956 91 91
90 1957 1957 1957 1957
711 1957 1957 1957 1957
1336 1957 1957 1957 1957
1957 1957 1957 1957 1957
713 711 1957 1957 1957
1334 711 1957 1957 1957
179 1334 711 1957 1957
800 1334 711 1957 1957
1247 1334 711 1957 1957
1868 1334 711 1957 1957

yangchuanju · 发表于 2024-9-2 19:20

循环节长等于2的共52个不同的r1值，循环节数字分别是899,1681；1681,899；988,1770；1770,988；
循环分别从r1、r2、r3或r4开始，各1,3,2,4个、1,3,2,4个、1,3,4,8个、1,3,4,8个；10+10+16+16=52；
r1 r2 r3 r4 r5
366 899 1681 899 1681
435 899 1681 899 1681
1612 899 1681 899 1681
1681 899 1681 899 1681
276 435 899 1681 899
1771 435 899 1681 899
455 276 435 899 1681
524 276 435 899 1681
1523 276 435 899 1681
1592 276 435 899 1681
347 1681 899 1681 899
899 1681 899 1681 899
1148 1681 899 1681 899
1700 1681 899 1681 899
989 1700 1681 899 1681
1058 1700 1681 899 1681
258 1058 1700 1681 899
810 1058 1700 1681 899
1237 1058 1700 1681 899
1789 1058 1700 1681 899
277 988 1770 988 1770
346 988 1770 988 1770
1701 988 1770 988 1770
1770 988 1770 988 1770
614 346 988 1770 988
881 346 988 1770 988
1166 346 988 1770 988
1433 346 988 1770 988
544 1166 346 988 1770
613 1166 346 988 1770
1434 1166 346 988 1770
1503 1166 346 988 1770
900 1433 346 988 1770
969 1433 346 988 1770
1078 1433 346 988 1770
1147 1433 346 988 1770
436 1770 988 1770 988
988 1770 988 1770 988
1059 1770 988 1770 988
1611 1770 988 1770 988
99 1611 1770 988 1770
168 1611 1770 988 1770
1879 1611 1770 988 1770
1948 1611 1770 988 1770
187 168 1611 1770 988
365 168 1611 1770 988
1682 168 1611 1770 988
1860 168 1611 1770 988
169 1948 1611 1770 988
721 1948 1611 1770 988
1326 1948 1611 1770 988
1878 1948 1611 1770 988

yangchuanju · 发表于 2024-9-3 00:05

循环节长等于60的共240个不同的r1值，循环节数字分别是14,196,788……，各4组；
循环都是从r2开始的；60种循环节的r2的前一个余数r1都是4个，且其中之一是循环节中的一个数字；
r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r61
4 14 194 788 701 119 1877 240 441
441 14 194 788 701 119 1877 240 441
1606 14 194 788 701 119 1877 240 441
2043 14 194 788 701 119 1877 240 441
14 194 788 701 119 1877 240 282 14
520 194 788 701 119 1877 240 282 14
1527 194 788 701 119 1877 240 282 14
2033 194 788 701 119 1877 240 282 14
105 788 701 119 1877 240 282 1736 194
194 788 701 119 1877 240 282 1736 194
1853 788 701 119 1877 240 282 1736 194
1942 788 701 119 1877 240 282 1736 194
788 701 119 1877 240 282 1736 510 788
903 701 119 1877 240 282 1736 510 788
1144 701 119 1877 240 282 1736 510 788
1259 701 119 1877 240 282 1736 510 788
11 119 1877 240 282 1736 510 129 701
701 119 1877 240 282 1736 510 129 701
1346 119 1877 240 282 1736 510 129 701
2036 119 1877 240 282 1736 510 129 701
119 1877 240 282 1736 510 129 263 119
326 1877 240 282 1736 510 129 263 119
1721 1877 240 282 1736 510 129 263 119
1928 1877 240 282 1736 510 129 263 119
170 240 282 1736 510 129 263 1616 1877
704 240 282 1736 510 129 263 1616 1877
1343 240 282 1736 510 129 263 1616 1877
1877 240 282 1736 510 129 263 1616 1877
151 282 1736 510 129 263 1616 1529 240
240 282 1736 510 129 263 1616 1529 240
1807 282 1736 510 129 263 1616 1529 240
1896 282 1736 510 129 263 1616 1529 240
282 1736 510 129 263 1616 1529 165 282
638 1736 510 129 263 1616 1529 165 282
1409 1736 510 129 263 1616 1529 165 282
1765 1736 510 129 263 1616 1529 165 282
311 510 129 263 1616 1529 165 612 1736
1023 510 129 263 1616 1529 165 612 1736
1024 510 129 263 1616 1529 165 612 1736
1736 510 129 263 1616 1529 165 612 1736
65 129 263 1616 1529 165 612 1988 510
510 129 263 1616 1529 165 612 1988 510
1537 129 263 1616 1529 165 612 1988 510
1982 129 263 1616 1529 165 612 1988 510
129 263 1616 1529 165 612 1988 1432 129
405 263 1616 1529 165 612 1988 1432 129
1642 263 1616 1529 165 612 1988 1432 129
1918 263 1616 1529 165 612 1988 1432 129
174 1616 1529 165 612 1988 1432 1575 263
263 1616 1529 165 612 1988 1432 1575 263
1784 1616 1529 165 612 1988 1432 1575 263
1873 1616 1529 165 612 1988 1432 1575 263
75 1529 165 612 1988 1432 1575 1706 1616
431 1529 165 612 1988 1432 1575 1706 1616
1616 1529 165 612 1988 1432 1575 1706 1616
1972 1529 165 612 1988 1432 1575 1706 1616
518 165 612 1988 1432 1575 1706 1647 1529
817 165 612 1988 1432 1575 1706 1647 1529
1230 165 612 1988 1432 1575 1706 1647 1529
1529 165 612 1988 1432 1575 1706 1647 1529
165 612 1988 1432 1575 1706 1647 332 165
280 612 1988 1432 1575 1706 1647 332 165
1767 612 1988 1432 1575 1706 1647 332 165
1882 612 1988 1432 1575 1706 1647 332 165
78 1988 1432 1575 1706 1647 332 1731 612
612 1988 1432 1575 1706 1647 332 1731 612
1435 1988 1432 1575 1706 1647 332 1731 612
1969 1988 1432 1575 1706 1647 332 1731 612
59 1432 1575 1706 1647 332 1731 1598 1988
148 1432 1575 1706 1647 332 1731 1598 1988
1899 1432 1575 1706 1647 332 1731 1598 1988
1988 1432 1575 1706 1647 332 1731 1598 1988
259 1575 1706 1647 332 1731 1598 993 1432
615 1575 1706 1647 332 1731 1598 993 1432
1432 1575 1706 1647 332 1731 1598 993 1432
1788 1575 1706 1647 332 1731 1598 993 1432
472 1706 1647 332 1731 1598 993 1440 1575
863 1706 1647 332 1731 1598 993 1440 1575
1184 1706 1647 332 1731 1598 993 1440 1575
1575 1706 1647 332 1731 1598 993 1440 1575
341 1647 332 1731 1598 993 1440 2034 1706
786 1647 332 1731 1598 993 1440 2034 1706
1261 1647 332 1731 1598 993 1440 2034 1706
1706 1647 332 1731 1598 993 1440 2034 1706
400 332 1731 1598 993 1440 2034 167 1647
934 332 1731 1598 993 1440 2034 167 1647
1113 332 1731 1598 993 1440 2034 167 1647
1647 332 1731 1598 993 1440 2034 167 1647
243 1731 1598 993 1440 2034 167 1276 332
332 1731 1598 993 1440 2034 167 1276 332
1715 1731 1598 993 1440 2034 167 1276 332
1804 1731 1598 993 1440 2034 167 1276 332
40 1598 993 1440 2034 167 1276 809 1731
316 1598 993 1440 2034 167 1276 809 1731
1731 1598 993 1440 2034 167 1276 809 1731
2007 1598 993 1440 2034 167 1276 809 1731
449 993 1440 2034 167 1276 809 1486 1598
886 993 1440 2034 167 1276 809 1486 1598
1161 993 1440 2034 167 1276 809 1486 1598
1598 993 1440 2034 167 1276 809 1486 1598
548 1440 2034 167 1276 809 1486 1528 993
993 1440 2034 167 1276 809 1486 1528 993
1054 1440 2034 167 1276 809 1486 1528 993
1499 1440 2034 167 1276 809 1486 1528 993
607 2034 167 1276 809 1486 1528 1202 1440
906 2034 167 1276 809 1486 1528 1202 1440
1141 2034 167 1276 809 1486 1528 1202 1440
1440 2034 167 1276 809 1486 1528 1202 1440
13 167 1276 809 1486 1528 1202 1667 2034
102 167 1276 809 1486 1528 1202 1667 2034
1945 167 1276 809 1486 1528 1202 1667 2034
2034 167 1276 809 1486 1528 1202 1667 2034
167 1276 809 1486 1528 1202 1667 1108 167
523 1276 809 1486 1528 1202 1667 1108 167
1524 1276 809 1486 1528 1202 1667 1108 167
1880 1276 809 1486 1528 1202 1667 1108 167
564 809 1486 1528 1202 1667 1108 1509 1276
771 809 1486 1528 1202 1667 1108 1509 1276
1276 809 1486 1528 1202 1667 1108 1509 1276
1483 809 1486 1528 1202 1667 1108 1509 1276
364 1486 1528 1202 1667 1108 1509 815 809
809 1486 1528 1202 1667 1108 1509 815 809
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1683 1486 1528 1202 1667 1108 1509 815 809
561 1528 1202 1667 1108 1509 815 995 1486
952 1528 1202 1667 1108 1509 815 995 1486
1095 1528 1202 1667 1108 1509 815 995 1486
1486 1528 1202 1667 1108 1509 815 995 1486
519 1202 1667 1108 1509 815 995 1322 1528
608 1202 1667 1108 1509 815 995 1322 1528
1439 1202 1667 1108 1509 815 995 1322 1528
1528 1202 1667 1108 1509 815 995 1322 1528
489 1667 1108 1509 815 995 1322 1591 1202
845 1667 1108 1509 815 995 1322 1591 1202
1202 1667 1108 1509 815 995 1322 1591 1202
1558 1667 1108 1509 815 995 1322 1591 1202
380 1108 1509 815 995 1322 1591 1187 1667
955 1108 1509 815 995 1322 1591 1187 1667
1092 1108 1509 815 995 1322 1591 1187 1667
1667 1108 1509 815 995 1322 1591 1187 1667
663 1509 815 995 1322 1591 1187 631 1108
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1384 1509 815 995 1322 1591 1187 631 1108
538 815 995 1322 1591 1187 631 1041 1509
975 815 995 1322 1591 1187 631 1041 1509
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1509 815 995 1322 1591 1187 631 1041 1509
726 995 1322 1591 1187 631 1041 816 815
815 995 1322 1591 1187 631 1041 816 815
1232 995 1322 1591 1187 631 1041 816 815
1321 995 1322 1591 1187 631 1041 816 815
696 1322 1591 1187 631 1041 816 579 995
995 1322 1591 1187 631 1041 816 579 995
1052 1322 1591 1187 631 1041 816 579 995
1351 1322 1591 1187 631 1041 816 579 995
610 1591 1187 631 1041 816 579 1578 1322
725 1591 1187 631 1041 816 579 1578 1322
1322 1591 1187 631 1041 816 579 1578 1322
1437 1591 1187 631 1041 816 579 1578 1322
456 1187 631 1041 816 579 1578 930 1591
901 1187 631 1041 816 579 1578 930 1591
1146 1187 631 1041 816 579 1578 930 1591
1591 1187 631 1041 816 579 1578 930 1591
653 631 1041 816 579 1578 930 1064 1187
860 631 1041 816 579 1578 930 1064 1187
1187 631 1041 816 579 1578 930 1064 1187
1394 631 1041 816 579 1578 930 1064 1187
542 1041 816 579 1578 930 1064 103 631
631 1041 816 579 1578 930 1064 103 631
1416 1041 816 579 1578 930 1064 103 631
1505 1041 816 579 1578 930 1064 103 631
650 816 579 1578 930 1064 103 372 1041
1006 816 579 1578 930 1064 103 372 1041
1041 816 579 1578 930 1064 103 372 1041
1397 816 579 1578 930 1064 103 372 1041
104 579 1578 930 1064 103 372 1233 816
816 579 1578 930 1064 103 372 1233 816
1231 579 1578 930 1064 103 372 1233 816
1943 579 1578 930 1064 103 372 1233 816
134 1578 930 1064 103 372 1233 1413 579
579 1578 930 1064 103 372 1233 1413 579
1468 1578 930 1064 103 372 1233 1413 579
1913 1578 930 1064 103 372 1233 1413 579
469 930 1064 103 372 1233 1413 742 1578
1003 930 1064 103 372 1233 1413 742 1578
1044 930 1064 103 372 1233 1413 742 1578
1578 930 1064 103 372 1233 1413 742 1578
841 1064 103 372 1233 1413 742 1966 930
930 1064 103 372 1233 1413 742 1966 930
1117 1064 103 372 1233 1413 742 1966 930
1206 1064 103 372 1233 1413 742 1966 930
627 103 372 1233 1413 742 1966 418 1064
983 103 372 1233 1413 742 1966 418 1064
1064 103 372 1233 1413 742 1966 418 1064
1420 103 372 1233 1413 742 1966 418 1064
103 372 1233 1413 742 1966 418 727 103
609 372 1233 1413 742 1966 418 727 103
1438 372 1233 1413 742 1966 418 727 103
1944 372 1233 1413 742 1966 418 727 103
73 1233 1413 742 1966 418 727 401 372
372 1233 1413 742 1966 418 727 401 372
1675 1233 1413 742 1966 418 727 401 372
1974 1233 1413 742 1966 418 727 401 372
699 1413 742 1966 418 727 401 1133 1233
814 1413 742 1966 418 727 401 1133 1233
1233 1413 742 1966 418 727 401 1133 1233
1348 1413 742 1966 418 727 401 1133 1233
634 742 1966 418 727 401 1133 218 1413
723 742 1966 418 727 401 1133 218 1413
1324 742 1966 418 727 401 1133 218 1413
1413 742 1966 418 727 401 1133 218 1413
742 1966 418 727 401 1133 218 441 742
949 1966 418 727 401 1133 218 441 742
1098 1966 418 727 401 1133 218 441 742
1305 1966 418 727 401 1133 218 441 742
81 418 727 401 1133 218 441 14 1966
793 418 727 401 1133 218 441 14 1966
1254 418 727 401 1133 218 441 14 1966
1966 418 727 401 1133 218 441 14 1966
27 727 401 1133 218 441 14 194 418
418 727 401 1133 218 441 14 194 418
1629 727 401 1133 218 441 14 194 418
2020 727 401 1133 218 441 14 194 418
193 401 1133 218 441 14 194 788 727
727 401 1133 218 441 14 194 788 727
1320 401 1133 218 441 14 194 788 727
1854 401 1133 218 441 14 194 788 727
312 1133 218 441 14 194 788 701 401
401 1133 218 441 14 194 788 701 401
1646 1133 218 441 14 194 788 701 401
1735 1133 218 441 14 194 788 701 401
558 218 441 14 194 788 701 119 1133
914 218 441 14 194 788 701 119 1133
1133 218 441 14 194 788 701 119 1133
1489 218 441 14 194 788 701 119 1133
218 441 14 194 788 701 119 1877 218
494 441 14 194 788 701 119 1877 218
1553 441 14 194 788 701 119 1877 218
1829 441 14 194 788 701 119 1877 218

yangchuanju · 发表于 2024-9-3 00:07

对于梅森素数2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127……，
令r1=1,2,3,4,5,6,……,2^p-1，它们的余数列都是什么样的呢？也都是呈循环式的，只是r1=4时有些特别。
令p=5，2^5-1=31，r1=1,2,3，……，31——
r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 循环节长
1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1
2 2 2 2 2 2 2 1
3 7 16 6 3 7 16 4
4 14 8 0 -2 2 2 r4=0
5 23 0 -2 2 2 2 r3=0
6 3 7 16 6 3 7 4
7 16 6 3 7 16 6 4
8 0 -2 2 2 2 2 r2=0
9 17 8 0 -2 2 2 r4=0
10 5 23 0 -2 2 2 r4=0
11 26 23 0 -2 2 2 r4=0
12 18 12 18 12 18 12 2
13 12 18 12 18 12 18 2
14 8 0 -2 2 2 2 r3=0
15 6 3 7 16 6 3 4
16 6 3 7 16 6 3 4
17 8 0 -2 2 2 2 r3=0
18 12 18 12 18 12 18 2
19 18 12 18 12 18 12 2
20 26 23 0 -2 2 2 r4=0
21 5 23 0 -2 2 2 r4=0
22 17 8 0 -2 2 2 r4=0
23 0 -2 2 2 2 2 r2=0
24 16 6 3 7 16 6 4
25 3 7 16 6 3 7 4
26 23 0 -2 2 2 2 r3=0
27 14 8 0 -2 2 2 r4=0
28 7 16 6 3 7 16 4
29 2 2 2 2 2 2 1
30 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1
31 -2 2 2 2 2 2 1
-1个数 2 2 2 2 2 2
-2个数 1 2 4 8 0 0
0个数 2 4 8 0 0 0
2个数 2 3 5 9 17 17
数字数 16 12 10 9 8 8

对于含有0的余数列，循环节长都是1，循环数字都是2，只是开始循环的位置由余数0所在位置确定；
当r1=4时，它的余数列中的r4=0，它是用LL法判断梅森数2^5-1=31是素数的依据。

yangchuanju · 发表于 2024-9-3 00:07

对于梅森素数2^3-1=7、2^5-1=31、2^7-1=127……，
令r1=1,2,3,4,5,6,……,2^p-1，它们的余数列都是什么样的呢？也都是呈循环式的，只是r1=4时有些特别。
令p=5，2^5-1=31，r1=1,2,3，……，31——
r1 r2 r3 r4 r5 r6 r7 循环节长
1 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1
2 2 2 2 2 2 2 1
3 7 16 6 3 7 16 4
4 14 8 0 -2 2 2 r4=0
5 23 0 -2 2 2 2 r3=0
6 3 7 16 6 3 7 4
7 16 6 3 7 16 6 4
8 0 -2 2 2 2 2 r2=0
9 17 8 0 -2 2 2 r4=0
10 5 23 0 -2 2 2 r4=0
11 26 23 0 -2 2 2 r4=0
12 18 12 18 12 18 12 2
13 12 18 12 18 12 18 2
14 8 0 -2 2 2 2 r3=0
15 6 3 7 16 6 3 4
16 6 3 7 16 6 3 4
17 8 0 -2 2 2 2 r3=0
18 12 18 12 18 12 18 2
19 18 12 18 12 18 12 2
20 26 23 0 -2 2 2 r4=0
21 5 23 0 -2 2 2 r4=0
22 17 8 0 -2 2 2 r4=0
23 0 -2 2 2 2 2 r2=0
24 16 6 3 7 16 6 4
25 3 7 16 6 3 7 4
26 23 0 -2 2 2 2 r3=0
27 14 8 0 -2 2 2 r4=0
28 7 16 6 3 7 16 4
29 2 2 2 2 2 2 1
30 -1 -1 -1 -1 -1 -1 1
31 -2 2 2 2 2 2 1
-1个数 2 2 2 2 2 2
-2个数 1 2 4 8 0 0
0个数 2 4 8 0 0 0
2个数 2 3 5 9 17 17
数字数 16 12 10 9 8 8

对于含有0的余数列，循环节长都是1，循环数字都是2，只是开始循环的位置由余数0所在位置确定；
当r1=4时，它的余数列中的r4=0，它是用LL法判断梅森数2^5-1=31是素数的依据。

yangchuanju · 发表于 2024-9-3 00:09

我们不太关心有关梅森数的各个余数列的循环情况，
在这里我们特别注重余数列中的余数0的位置和个数；
经统计分析知，以下各梅森数余数列中的余数0的个数如下：
素数p r2 r3 r4 r5 r6 r7 r8 r9 r10 r11 r12
3 2
5 2 4 8
7 2 4 8 16 32
11 4
13 2 4 8 16 32 64 128 256 512 1024 2048
梅森合数2^11-1=2047的余数列中仅r2中含4个0，其余各个余数中不再含有余数0；
各个梅森素数的余数列中都含有多的0，其中最后一个（含0最多的）数中一定含有r1=4。

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