费马大定理——这个证明包你懂！

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费马大定理——这个证明包你懂！

作者：张天蓉 | 发表时间：2024-9-7 22:42 | 个人分类：系列科普 | 系统分类：科普集锦

费马看到毕达哥拉斯定理，扩展思路得到了一个猜想，然后还轻描淡写地撂下一句话，说他有个精妙的证明但空白太小写不下！然后，他的猜想折腾了数学家们三百多年……

从费马的经历和性格而言，并不像是那种大吹牛皮的人。奇怪的是，在他所有的信件中，费马也没有提到他证明了费马大定理。也可能他原以为自己证明了，后来又突然意识到实际上他并没有证明？但又忘记了曾经写过的那条书边评注？


图 1 ：欧拉和费马大定理

不过，根据费马的说法，他当时应该是证明了点儿什么，也许证明了某种特殊情况？

100 年后，欧拉证明了 n=3 时的费马猜想：即“任何正整数的立方，不可能表示成另外两个正整数立方之和”。据说欧拉去翻过费马的手稿，终于在一个不起眼的地方发现了费马对 n=4 的证明。因此，费马的确证明了 n=4 时的费马大定理，费马也声称用他的无穷递降法他也证明了 n=3 的情况。n=4 是费马大定理最简单的情况，下面给出 n=4 的证明，包你能看懂！（n=3 和 n=4 的证明，思路是类似的）。

一，证明思路：


图 2 ：费马大定理 n=4

证明的思路如图 2 所示，

1，证明更强的命题：“x^4+y^4=z^2 没有正整数解”，来证明“x^4+y^4=z^4 没有正整数解”；

2，利用毕达哥拉斯三元组（勾股数：a,b,c）的性质；

3，运用费马的“无穷递降法”完成证明。

解释如下：

第 1 点比较明显，稍加思考就能明白；

第 2 点涉及勾股数：勾股数是符合毕达哥拉斯定理的 3 个正整数。勾股数有如下性质：

三者（a,b,c）互质的勾股数是素勾股数，任何勾股数都可化简为素勾股数，素勾股数可以写成一种形式：

  a=2mn ，b=m^2-n^2 ，c=m^2+n^2 。

有关勾股数的更多性质见维基百科【1】。

第 3 点谈到的无穷递降法【2】，是证明的核心，简单且有趣，在下一节中介绍。

然后，在最后一节写出简单的证明过程。

二，无穷递降法：

这种方法特别适合数论中证明某个“没有正整数解”的命题。它基于一个简单的事实：很容易就能找到一个无限递增的正整数序列，其中每一项都比前一项大：例如图 3 左图列举的整数序列（1、2、3、4、…）和整数立方序列（1、8、27、64、…）等。但是，你不可能能得出一个无限的正整数序列，其中每一项都比前一项小。例如，无论你从多大的数开始，只要是递减，整数序列注定会终止。所以，费马说：不存在无限长的正整数递减序列，任何正整数递减序列迟早会停止。基于这个道理，如果你从某个命题得到了这样的正整数递减序列，那么就可以用反证法证明这个命题不存在。

费马这个看似简单的定理在数论上很有用，因此也有着深远的数学意义。

举个很容易理解的例子来理解无穷递降法。例如，证明方程 xy+y^2=x^2 没有正整数解【3】。


图 3 ：无限递降法

如图 3 右图，得到 a，b 的方程 ab+b^2=a^2 ；然后使用代数将其重写为 (a+b)/a=a/b；（事实上是黄金分割的表达式）。然后画出一个 a×(a+b) 矩形，其中包含一个 a×a 正方形和一个 a×b 矩形，如图所示，用几何方式表示该方程。大的 a×(a+b) 矩形与小的 a×b 矩形是相似的：将前者旋转 90 度并将其缩小，即可得到后者。因此，大矩形是黄金矩形，较小的矩形与大矩形相似，也是一个黄金矩形；小黄金矩形又可以分解为一个正方形和一个更小的黄金矩形，并且可以依此类推地进行。如果 a、b 是实数，可以无穷无尽地进行下去。但是，如果大矩形的边 a 和 (a+b) 都是整数，那么，a 和 b 也是整数。于是，我们就得到了一个无限小下去的正整数序列。根据无限递降原理，这是不可能的。所以，矩形不存在，即满足方程的正整数不存在，证毕。

三，证明过程：费马大定理（n=4 的情况）：x^4+y^4=z^4 没有正整数解【4】

我们通过证明更强的命题“x^4+y^4=z^2（方程 1）没有正整数解”来证明 n=4 的费马大定理【1】。

假设有一个正整数组合 (x,y,z) 满足方程 1 ，那么，(x^2,y^2,z) 形成一组勾股数，或素勾股数。不失一般性，假设 x 是偶数，y 是奇数，然后，z 应为奇数，互质勾股数 (x^2,y^2,z) 可以写成：

    x^2=2mn ，y^2=m^2-n^2 ，z=m^2+n^2 。

因为 y^2+n^2=m^2 ，y 是奇数，n 是偶数，所以 m 是奇数。(n,y,m) 是素勾股数，然后存在互质的新变量 r，s，使得

   n=2rs ，y=r^2-s^2 ，m=r^2+s^2 。

又有：m(n/2) = (x/2)^2 ,  因 m 和 n/2 互质，所以 m 和 n/2 皆为平方数。

同样，r 和 s 互质，也皆为平方数：

然后，r=x0^2 ，s=y0^2 ，m=z0^2 ，代入 m=r^2+s^2 ，便有，x0^4+y0^4=z0^2 ，且有 z=m^2+n^2＞m^2＞z0 。

总结上面的过程，就是说，从勾股数 (x^2,y^2,z)，可以得到另一个更小的勾股数 (x0^2,y0^2,z0) ，还可以依此类推……。但是，根据费马的“无穷递降法”，过程不可能无限继续下去。因此，“假设有一个正整数组合 (x,y,z) 满足方程 1 ”不成立，证毕。

参考资料：

【1】https://zh.wikipedia.org/wiki/%E ... 2%E9%99%8D%E6%B3%95

【2】Grant, M. and Perella, M. (1999) Descending to the Irrational. The Mathematical Gazette, 83, 263-267.   http://dx.doi.org/10.2307/3619054

【3】https://mathenchant.wordpress.co ... boasting-frenchman/

【4】https://crypto.stanford.edu/pbc/notes/numberfield/fermatn4.html