太阳方程a^2-c^2*m^2*y^2-c^4*m=0的整数解

yangchuanju · 发表于 2024-9-18 06:26

已知：整数a>0，c>0，y>0，m>t，c=mt，奇数m>1，素数p>0，t>0，
方程a^2-c^2*m^2*y^2-c^4*m=0，有3个正整数解，
求证：m=p

已知：整数a>0，c>0，y>0，m>t，c=mt，奇数m>1，素数p>0，t>0，
方程a^2-c^2*m^2*y^2-c^4*m=0，有2个正整数解，
求证：m=p

yangchuanju · 发表于 2024-9-18 06:27

将c=mt带入a^2-c^2*m^2*y^2-c^4*m=0主体方程变成
a^2-t^2*m^4*y^2-t^4*m^5=0
a^2=t^2*m^4*y^2+t^4*m^5=t^2*m^4*(y^2+t^2*m)
a=t*m^2*(y^2+t^2*m)^0.5
适当给定一组m,t,y，如果y^2+t^2*m是平方数，
则就有一个整数a，方程就有一个整数解。

yangchuanju · 发表于 2024-9-18 06:28

太阳方程的参变量t限定为大于0的素数，t=2,3,5,7,11,13……；
m限定为大于t的奇数；y限定为正整数。
4元不定方程肯定有无穷多组复数解，进一步一般应有无穷多组实数解、有理数解、整数解；一般来说4元不定方程应有无穷多组正整数解；
同样，3元不定方程肯定有无穷多组复数解，进一步一般应有无穷多组实数解、有理数解、整数解；一般来说3元不定方程应有无穷多组正整数解；
但对于2元不定方程肯定还有无穷多组复数解，进一步一般还有无穷多组实数解、有理数解；至于整数解或正整数解，一般来说2元不定方程只有有限组整数解或正整数解，也许没有整数解或正整数解。
在变换后的太阳方程a=t*m^2*(y^2+t^2*m)^0.5中给定一个参数t，它还是3元的，再给定一系列正整数y和大于t的正整数m，它肯定会有无穷多组正整数解；
以y和m为纵横坐标做一张无限大的二维表，其中的各行、各列之中一般都有无穷多组正整数解；
若二维表是有限的（无限大的二维表谁也做不出来），其中的各行、各列之中一般是有几组或没有正整数解的。

yangchuanju · 发表于 2024-9-18 06:29

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-18 08:35 编辑

a=t*m^2*(y^2+t^2*m)^0.5, t=2
m  y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 正整数解
3 0 72 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
5 0 0 0 300 0 0 0 0 0 0 0 1
7 0 0 0 0 0 784 0 0 0 0 0 1
9 0 0 0 0 0 0 0 1620 0 0 0 1
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2904 0 1
13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
15 0 3600 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
21 0 0 0 8820 0 0 0 0 0 0 0 2
23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
27 0 0 0 0 0 17496 0 0 0 0 0 2
29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 61504 1
33 0 0 0 0 0 0 0 30492 0 0 0 1
35 0 29400 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 48672 0 1
41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
45 0 0 0 56700 0 0 0 0 0 0 0 2
47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
55 0 0 0 0 0 96800 0 0 0 0 0 1
57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
正整数解 0 3 0 3 0 3 0 2 0 2 1 22

a=t*m^2*(y^2+t^2*m)^0.5, t=3
m  y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 正整数解
5 0 525 0 0 0 675 0 0 0 0 0 3
7 1176 0 0 0 0 0 0 0 1764 0 0 2
9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
11 3630 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
13 0 5577 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
15 0 0 8100 0 0 0 0 0 0 0 0 3
17 0 0 0 11271 0 0 0 0 0 0 0 2
19 0 0 0 0 15162 0 0 0 0 0 0 2
21 0 0 0 0 0 19845 0 0 0 22491 43659 3
23 0 0 0 0 0 0 25392 0 0 0 0 1
25 0 0 0 0 0 0 0 31875 0 0 0 2
27 0 0 0 0 0 0 0 0 39366 0 0 1
29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 47937 0 1
31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
33 0 0 0 0 0 0 0 62073 0 0 0 2
35 0 0 66150 0 0 0 0 0 0 0 0 4
37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
39 0 0 0 0 0 0 91260 0 0 0 0 2
41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
45 0 0 0 0 0 127575 0 0 0 0 0 2
47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
51 0 0 0 0 171666 0 0 0 0 0 0 2
53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
55 0 0 0 0 0 0 0 0 217800 0 0 3
57 0 0 0 224181 0 0 0 0 0 0 0 2
正整数解 2 2 2 2 2 3 2 2 3 2 1 27

a=t*m^2*(y^2+t^2*m)^0.5, t=5
m  y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 正整数解
7 0 0 0 0 0 0 0 0 3920 0 0 2
9 0 0 0 0 0 0 0 6885 0 0 0 2
11 0 0 0 0 0 0 10890 0 0 0 0 2
13 0 0 0 0 0 16055 0 0 0 0 29575 2
15 0 0 0 0 22500 0 0 0 0 0 0 1
17 0 0 0 30345 0 0 0 0 0 0 0 1
19 0 0 39710 0 0 0 0 0 0 0 0 1
21 0 50715 0 0 0 0 0 0 0 55125 0 2
23 63480 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
27 94770 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
29 0 113535 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
31 0 0 134540 0 0 0 0 0 0 0 0 1
33 0 0 0 157905 0 0 0 0 0 0 0 2
35 0 0 0 0 183750 0 0 0 0 0 0 1
37 0 0 0 0 0 212195 0 0 0 0 0 1
39 0 0 0 0 0 0 243360 0 0 0 0 2
41 0 0 0 0 0 0 0 277365 0 0 0 1
43 0 0 0 0 0 0 0 0 314330 0 0 1
45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 354375 455625 2
47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
正整数解 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 25

a=t*m^2*(y^2+t^2*m)^0.5, t=7
m  y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 正整数解
9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
11 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
15 0 0 0 0 0 0 44100 0 0 0 0 2
17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 229593 0 1
31 0 0 0 0 0 0 0 0 269080 0 0 1
33 0 0 0 0 0 0 0 312543 0 0 0 2
35 0 0 0 0 0 0 360150 0 0 0 0 1
37 0 0 0 0 0 412069 0 0 0 0 0 1
39 0 0 0 0 468468 0 0 0 0 0 0 1
41 0 0 0 529515 0 0 0 0 0 0 0 1
43 0 0 595378 0 0 0 0 0 0 0 0 1
45 0 666225 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
47 742224 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
51 910350 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
53 0 1002813 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
55 0 0 1101100 0 0 0 0 0 0 0 0 2
57 0 0 0 1205379 0 0 0 0 0 0 0 1
正整数解 2 2 2 2 1 1 2 1 1 1 0 24

yangchuanju · 发表于 2024-9-18 06:33

请太阳先生睁开眼睛好好看一看，各行之中有2个正整数解的m值中有没有合数，又有多少组是合数？

yangchuanju · 发表于 2024-9-18 06:35

本帖最后由 yangchuanju 于 2024-9-18 08:38 编辑

太阳先生不是规定t只能取素数吗？我们偏偏给定t=9,15,21，再请太阳先生好好地看一看——
a=t*m^2*(y^2+t^2*m)^0.5, t=9
m  y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 正整数解
11 0 0 32670 0 0 0 0 0 0 0 0 1
13 0 0 0 0 0 50193 0 0 0 0 0 1
15 0 0 0 0 0 0 0 0 72900 0 0 1
17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 202419 2
23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 431433 2
31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
35 0 0 0 0 0 0 0 0 595350 0 0 2
37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
正整数解 0 0 1 0 0 1 0 0 2 0 2 24

a=t*m^2*(y^2+t^2*m)^0.5, t=15
m  y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 正整数解
11 0 0 0 0 90750 0 0 0 0 0 0 2
13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 139425 0 2
15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
19 0 0 0 0 0 0 0 0 357390 0 0 2
21 0 0 0 0 0 456435 0 0 0 0 496125 2
23 0 0 571320 0 0 0 0 0 0 0 0 1
25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
27 0 0 852930 0 0 0 0 0 0 0 0 1
29 0 0 0 0 0 1021815 0 0 0 0 0 1
31 0 0 0 0 0 0 0 0 1210860 0 0 1
33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
43 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
45 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3189375 2
47 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
51 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
53 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
55 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
正整数解 0 0 2 0 1 2 0 0 2 1 2 20

a=t*m^2*(y^2+t^2*m)^0.5, t=21
m  y 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 30 正整数解
11 0 0 0 0 0 0 177870 0 0 0 0 2
13 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
15 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
17 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
19 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
21 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
23 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
25 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
27 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
29 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2066337 1
31 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
33 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
35 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
37 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
39 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
41 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
43 0 0 0 0 0 0 0 0 5358402 0 0 1
45 0 0 0 0 0 5996025 0 0 0 0 0 1
47 0 0 6680016 0 0 0 0 0 0 0 0 1
49 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
51 0 0 8193150 0 0 0 0 0 0 0 0 1
53 0 0 0 0 0 9025317 0 0 0 0 0 1
55 0 0 0 0 0 0 0 0 9909900 0 0 1
57 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2
正整数解 0 0 2 0 0 2 1 0 2 0 1 18

yangchuanju · 发表于 2024-9-18 06:37

请问太阳先生：
您是如何根据这种不定方程的整数解的组数判断参数m都是素数的？

太阳 · 发表于 2024-9-18 06:46

命题是错误，有反例，t=37，m=17533

yangchuanju · 发表于 2024-9-18 07:49

太阳贴
方程有两个或三个正整数解，判断m是素数
http://www.mathchina.com/bbs/for ... &extra=page%3D1

1楼太阳发表于2024-9-16 00:24
命题1、已知：整数a>0，c>0，y>0，m>t，c=mt，奇数m>0，素数p>0，t>0，
方程a^2/(c^2*t^2)-c^2*m^2*y^2-c^4*m=0，有3个正整数解，求证：m=p
命题2、已知：整数a>0，c>0，k>0，y>0，m>t，m≠kt，c=mt，奇数m>0，素数p>0，t>0，
方程a^2/(c^2*t^2)-c^2*m^2*y^2-c^4*m=0，有3个正整数解，求证：m=p
命题3、已知：整数a>0，c>0，u>0，v>0，y>0，m>t，m≠3u，m≠5v，c=mt，奇数m>0，素数p>0，t>0，
方程a^2/(c^2*t^2)-c^2*m^2*y^2-c^4*m=0，有3个正整数解，求证：m=p
命题4、已知：整数a>0，c>0，k>0，m≠kt，u>0，v>0，y>0，m>t，m≠3u，m≠5v，c=mt，奇数m>0，素数p>0，t>0，
方程a^2/(c^2*t^2)-c^2*m^2*y^2-c^4*m=0，有3个正整数解，求证：m=p

好了，方程2和4中都有一个限制条件“m≠kt”，其中t是素数，k是正整数，
那么m不能取任一个合数，故m只能取素数，求证的“m=p”是必然的，
请问太阳先生，这种求证之题还用求吗？

接下去
命题5-8只是将命题1-4的第一项的分母由c^2*t^2换成c^2*m^2；
命题9-12只是将命题1-4的第一项的分母由c^2*t^2换成t^2*v^2；并增加了一个新变量v；
命题13-16又是将命题9-12的第一项的分母由t^2*v^2换成m^2*v^2；

这16个命题都是素数公式？
偶数号命题中的m只能取素数，故m是素数是不言而喻的；然单数号命题中就没有反例吗？

2楼
1楼命题5-16的改型，只是各增加一个求证要求：求证t也都是素数。

3楼
1楼命题1-16的改型，只是将条件“有3个正整数解”，改为“有2个正整数解”。

4楼
2楼12个命题的改型，只是将条件“有3个正整数解”，改为“有2个正整数解”。

太阳先生的排列组合理论掌握和运用的不错呀，
那么有1个正整数解的m是素数还是合数？没有正整数解的m又是什么数？
有4个、5个、更多个正整数解的m又是什么数？

以下5-9楼是1-4楼的重复贴。

10楼
1楼命题1的简化命题贴，略去了方程第一项的分母——
已知：整数a>0，c>0，y>0，m>t，c=mt，奇数m>0，素数p>0，t>0，
方程a^2-c^2*m^2*y^2-c^4*m=0，有3个正整数解，求证：m=p

11楼
10楼简化命题的改型，只是将条件“有3个正整数解”，改为“有2个正整数解”。

12楼
10-11楼合并贴，并个增加一个求证要求，求证t也是素数。
已知：整数a>0，c>0，y>0，c>y，m>t，c=mt，奇数m>1，t>1，素数p>0，w>0，
方程a^2-c^2*m^2*y^2-c^4*m=0，有3个正整数解，求证：m=p，t=w
已知：整数a>0，c>0，y>0，c>y，m>t，c=mt，奇数m>1，t>1，素数p>0，w>0，
方程a^2-c^2*m^2*y^2-c^4*m=0，有2个正整数解，求证：m=p，t=w

13-14楼
12楼重复贴。

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yangchuanju · 发表于 2024-9-18 09:04

太阳发表于 2024-9-18 06:46
命题是错误，有反例，t=37，m=17533

m不是素数的反例多多——
t m y a
2 15 2 3600
2 15 14 7200
2 21 4 8820
2 21 20 19404
2 27 6 17496
2 27 26 40824
3 15 3 8100
3 15 11 10800
3 15 21 16200
3 21 6 19845
3 21 10 22491
3 21 30 43659
3 35 3 66150
3 35 13 80850
3 35 19 95550
3 35 29 124950
9 21 18 178605
9 21 30 202419
9 25 24 286875
9 25 28 298125
15 21 6 456435
15 21 30 496125
15 45 22 3128625
15 45 30 3189375
21 57 12 10848411
21 57 28 10984869

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太阳方程a^2-c^2m^2y^2-c^4*m=0的整数解

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