数学系列之函数基础

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数学系列之函数基础

原创 aFa 攻防实验室 AiSec 2024 年 08 月 13 日 14:27 北京

邻域



去心邻域



函数的一些概念

常量和变量：固定不变的值就可以叫做常量，比如 1，-1 ，甚至 a，b 这种。同理，变的值就是变量，比如 x 。

函数：设 A 和 B 是两个集合。如果存在一个规则 f ，使得对于集合 A 中的每一个元素 x ，在集合 B 中都有唯一一个元素 y 与之对应，那么 f 就是一个从 A 到 B 的函数。

函数三要素：即定义域、值域、对应法则。

定义域：函数 f 的定义域是集合 A ，即所有可能的输入值的集合。

值域：函数 f 的值域是集合 B 的一个子集，即所有可能的输出值的集合。

对应法则：定义域中的每个元素通过某种规则（或公式）映射到值域中的唯一一个元素。

下面来看个应用，比如下面有 4 个图像，问哪个不是函数：



答案是 C ，因为 x 对应的 y 不是唯一的。

函数相同：定义域和对应关系都相同，那这两个函数就是相同的。比如说有两个函数是 ln(x^2) 和 2ln(x) ，问是否相同，答案是不同，因为指数的真数要大于 0 ，所以第一个函数 x 的取值范围只要不等于 0 即可，而第二个函数的 x 取值范围是要大于 0 的，即它们的定义域不同。

取整函数

取整函数也叫做高斯函数，表示为 y=[x] ，它的对应关系是 x 映射到不大于 x 的最大整数。什么意思呢，比如 x 是 3.7 ，那么 y 就是 3 ，比如 x 是 2 ，那 y 就是 2 ，比如 x 是 -1.2 ，那 y 就是 -2 ，即不超过 x 的最大整数。它用图像表示如下：



周期函数

周期函数是指在其定义域内，满足以下条件的函数，即对于某个非零常数 T ，对于定义域内的所有 x ，都有 f(x+T)=f(x) 。这个 T 叫做周期。

简单理解就是周期函数的图像在水平方向上是重复的，周期函数的图像每隔 T 个单位长度会重复出现一次。比如 sin(x) 的周期就是 2π ，图像如下。



奇函数

奇函数定义为：如果一个函数满足条件 f(-x)=-f(x) 对于所有 x 在定义域内成立，则该函数被称为奇函数。奇函数的图像是关于原点对称的（图像旋转 180 度与原图像重合）。

例如 f(x)=x^3 就是一个奇函数，关于原点对称，如下图：



通过图像也可以看出来，它满足 f(-x)=-f(x) 的条件。

偶函数

偶函数定义为：如果一个函数满足条件 f(-x)=f(x) 对于所有 x 在定义域内成立，则该函数被称为偶函数。偶函数的图像是关于 y 轴对称的。

例如 f(x)=x^2 就是一个偶函数，关于 y 轴对称，如下图：



通过图像也可以看出来，它满足 f(-x)=f(x) 的条件。

单调性



有界性和无界性

比如有一个函数 f(x) ，该函数所有的值都小于 M（M 是个实数），那么我们就说这个函数是上有界的，同理，如果该函数的所有值都大于 m（m 是个实数），那它就是下有界的，简单理解，就是函数的值域是在一个范围内的，比如：

            -1≤f(x)≤1 。

那 -1 就是下有界，1 就是上有界，当一个函数既有上有界又有下有界时，我们就称它是有界的，比如 sin 函数就是有界的。

那无界就好理解了，当一个函数只有上有界，或者只有下有界，或者都没有时，它就是无界的，比如 x^3 就是无界的，会随着 x 的增大而无限增大。

反函数

比如有一个函数 y=2x ，然后我们变换一下，以 x 的形式来写就是 x=y/2 ，这种形式换回 y 来表示就是 y=x/2 ，它就是原函数的反函数。

复合函数

我们这里先简单理解就是将两个函数进行了合并，比如一个函数 g(x)=1/x ，另一个函数 f(x)=x^2-1 ，求一下复合函数，我们只要合并即可，采用代入法，将一个函数代入到另一个函数。

这里代入时可以把 g(x) 代入到 f(x) ，即 f(g(x)) ，结果就是 1/x^2-1 。

也可以把 f(x) 代入到 g(x) ，即 g(f(x)) ，结果就是 1/(x^2-1) 。

总结

学会应用反向思维，比如想演讲成功，那就先搞砸一百次演讲，而不是一开始就想着成功，结果失败了两次，信心全无。

aFa 攻防实验室