将乘积法则扩展至 n 次导数以及一个组合数等式的解释

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将乘积法则扩展至 n 次导数以及一个组合数等式的解释

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 07 月 21 日 07:30 陕西

我们从高中就知道如何求两个函数 u(x) 和 v(x) 乘积的导数：



在这期推送中，我们将展示乘积的 n 次导数的表达式——该表达式看起来非常像二项式展开。回想一下，n 次幂的二项式展开如下所示：



为了简洁起见，我们可以引入求和符号和组合系数：



在这里：



为二项式系数。我们将要证明的乘积的 n 阶导数的表达式如下：



其中指标 (k) 表示第 k 阶导数，k=0 表示不求导，即函数本身。

归纳证明

我们将使用归纳论证来证明这个结果。经常阅读我文章的人会知道，我喜欢将归纳论证描述为一串永无止境的多米诺骨牌，它们排成一排，一个接一个地相互推倒。要所有多米诺骨牌都会倒下，你需要知道第一张多米诺骨牌会倒下（归纳开始），并且每当一张多米诺骨牌倒下时，它都会导致下一张多米诺骨牌倒下（归纳步骤）。

言归正传，要使用归纳法证明上述结果，我们首先需要证明它对 n=1 成立（归纳法开始）。然后我们假设它对 n=k 成立，并以此证明它对 n=k+1 成立（归纳法步骤）。

对于 n=1 的情况：



因此，归纳起点得证，这就是一阶导数乘积法则的精确表述。

现在进行归纳步骤，首先我们假设 n=k ：



现在我们使用乘积法则对其取一阶导数则：



现在我们要对上式做一下简单的变形：



让我们快速看一下这个表达式中的二项式系数和：



上面这个组合数的等式，有一个很棒的解释，现在我们想在 k+1 个球中取出 r 个球，这 k+1 个球中，有 k 个红色的球和 1 个蓝色的球，则我们取出的 r 个球，会分为两种情况，取到这个蓝色的球和没取到蓝色的球。

现在考虑第一种情况，取到蓝色的球，因为我们总共要取 r 个球，现在有一个已经是蓝色的了，所以只需在 k 个红球中取 r-1 个红球就好了。

第二种情况，没有取到蓝色的球，那么取到的 r 个球必然全是红球，我们只需在 k 个红球中取 r 个就好了。这样是不是就完美的解释了这个组合数的等式，而避开繁琐的计算呢。

所以现在我们可以简化地说：



这就是 n=k+1 的结果，这就完成了归纳步骤，从而完成了证明。

该结果的一些应用

假设 u=sinx 和 v=cosx 。然后利用这个结果我们得到 y=sinxcosx 的五次导数，如下所示：



这与另一种方法一致，即注意到 sinxcosx=(1/2)sin(2x) ，并反复使用链式法则将得出相同的结果。

测试你的理解

如果你愿意，可以尝试使用乘积法则来验证



和



好了，今天就到这里吧，希望你能享受这个组合数的等式解释以及乘积法则，我们下期见。



围城里的猫