求行列式 ｜1+x,x,…,x,x；x,2+x,…,x,x；…；x,x,…,n-1+x,x；x,x,…,x,n+x｜ 的值

天山草

求下面行列式的值：


实际计算 n 为 2，3，4，5，6，7，8 时的值如下，供解题参考。

天山草

一种思路如下：



到此，由递推公式解出通项公式即可。如何解？

luyuanhong

天山草

由 2# 楼的递推公式 \(D_n=nD_{n-1}+x(n-1)!\) 可求出通项公式：
上式两边都除以 \(n!\) 得：
\(\frac{D_n}{n!}=\frac{D_{n-1}}{(n-1)!}+\frac{x}{n}\)
将 n=2, 3, 4, …, n 依次代入上式两边，消去左右的相同项，并代入\(D_1\)的值得：
\(D_n=n!+x(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\cdots+\frac{1}{n})n!\)

luyuanhong