求解轨道微分方程

luyuanhong

求解轨道微分方程

原创 cosmos2062 cosmos2062 2024 年 09 月 09 日 10:13 广东

通过几个变量替换步骤，将动力学微分方程转化成简单的微分方程，并利用不定积分方法求解这个方程，得到天体运动的轨道方程。



通过对动力学微分方程做降阶处理后，我们得到了能量守恒方程，这是一个径向距离对时间的依赖关系的微分方程，可以直接求解，得到两者的函数关系。不过，这并不是研究天体运动时想要的结果。我们真正想要的是径向距离与极角的函数关系，有两条途径实现这个目标。

第一条途径是：先求解能量守恒方程，得到径向距离与时间的函数关系，将其代入角动量守恒方程中，求解出极角与时间的函数关系，再联合两个函数关系，将时间因子消去，就得到我们想要的结果。不过，这种处理方法比较繁琐；另一条途径是，先将能量守恒方程与角动量守恒方程联合起来，消去时间因子，得到反映径向距离与极角之间关系的微分方程，求解这个轨道微分方程，就可以得到轨道方程。显然，用这种方法处理问题显得更为简洁（不是简单）。

{{3
利用能量守恒方程将径向距离对时间的一阶导数明显地表示出来：利用角动量的数值的表达式，将时间的微分因子消去，将径向距离对时间的依赖关系改写成径向距离对极角的依赖关系：将这个改变了形式的导数与微分方程中开平方根内的式子做比较，不难发现，如果做以下变量替换：微分方程的形式会变得较为简单：再做一次变量替换，并用一个字母来简记有关的常数组合：反映径向距离与极角的函数关系的微分方程最终被改写成如下形式：这是一个相当简单的微分方程，在讨论运动问题时，已经遇到过类似的方程，可以使用不定积分的方法进行求解：为了求出等式左边的积分，最后一次做变量替换：（下面的公式有错，最后要加微分符号dx）由此得到了微分方程的求解结果：把前面所做的几次变量替换逆着方向代回去，并将径向距离解出，得到它与极角的函数关系：至此，数学推导的任务已经完成。
}}

让我们回到物理学中来，解决剩余的问题：如何确定积分中的任意积分常数？





在《天体的运动轨道》中，曾经用另一种方法给出了上述形式的轨道方程，并讨论了偏心率与轨道形状之间的关系。现在，我们可以理解偏心率的物理本质了，它反映能量与角动量之间的关系。这件事情的细节就交给大家去讨论吧。

cosmos2062