实系数的三次方程求根公式中为什么会引入复数

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实系数的三次方程求根公式中为什么会引入复数

原创 围城里的猫 MathSpark 2024 年 09 月 09 日 18:54 陕西

在数学课程中介绍复数的通常方式是指出它们是用来解某些二次方程的，例如方程 x^2+1=0 。然而，在二次方程刚出现时，这种情况其实并没有发生，因为当时并不需要所有二次方程都有解。许多二次方程在当时是更具几何意义的，例如人们在研究圆、抛物线等时，如果有人问一个特定的圆和直线是否相交，那么答案可以是肯定或否定。如果是，则相交的二次方程有解；如果否，则无解。在这种情况下，也就没有引入虚数的必要。

而三次方程：



在这种情况下，如果 (q/2)^2-(p/3)^3＜0 ，意味着我们要对一个负数开平方根，此时我们是否要将方程视为无解的情况，答案是否定的，因为实系数的三次方程总有一个实数根，理由有很简单，因为 y^3-py-q 对于足够大的正 y ，会趋于正无穷，对于足够大的负数 y 值会趋于负无穷。由介值定理，我们会知道它必须经过 x 轴的某个地方，因而必有一个实数根，问题是，对于所有实数数，平方根的求值是不可能的，可是根据上面的公式，p 和 q 在所有的情况下都应该能够求得这个实数根。



三次方程解法的难点在于，当方程有三个实数解时，求根公式需要对负数取平方根。如果假设这样的数字存在，并且可以应用通常的加法和乘法规则，那么在计算结束时，这些数字就会消失，并会找到一个实根，所以当时的数学家并没有担心，当然，这不是一个最合理的动机，但就当时而言只要它有效，这就足够了。

利用你对复数理论的了解，你很快就会明白这其中发生了什么：表达式的两个项是复共轭，因此它们的和总是实数。但是如果你没有复数理论，那么在表达式的求值中就会陷入麻烦，这正是这一点点的困难，即尽管三次方程有实数系数，但根的公式却需要复数，导致了求根公式经历了很长一段时间才被发现。
还有最后一个小的点，为什么我们研究的三次方程形式是这样的，



我们不是应该讨论最一般形式的三次方程吗？这一点完全不需要担心，因为任何三次函数都可以通过简单的水平平移（不添加或删除任何轴的交叉点）转换为上面形式的函数，因此我们可以将这一结果扩展到所有三次函数。这应该而也是数学家常用的一种手段了。

当时的数学家如果不引入复数的理论，他们面临的境地其实是困难，他们只能告诉大家说负数的平方根不存在，然后失去这些实系数三次方程的实数根，这在今天简直难以想象，因此复数它必须在那里，伽罗瓦的理论就是对此做出概括，只不过在发展它理论的过程中，用更抽象和更具洞察力的手段来发展，也意外的带动了新的数学分支的发展，这一点可能超过伽罗瓦本人发展理论时的愿景了。



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