胡焕庸线和等分线

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胡焕庸线和等分线

原创 AthlonBE 唯思客俱乐部 2024 年 09 月 20 日 23:15 瑞士

今年夏天，新闻上看到新疆多处发生洪水，洪水发生区域包括横跨塔克拉玛干沙漠的塔里木河、上游的叶儿羌河以及阿克苏河流域。

夏季沙漠中突发洪水并不罕见，现在还很难说，全球变暖可以推动雨带持续西移或北移，使得西北地区大片的沙漠、戈壁及黄土高坡重新成为温润气候下的再造良田。不过，400 毫米等降水量线在历史上具有非常重要的意义。

根据国家气象局的资料，近几年来，400 毫米等降水量线确实存在逐年向西移动的趋势。长序列的历史研究显示，我国历史上 400 毫米等降水量线的波动往往带动着适农区和非适农区的边界随之移动，处于农牧交错带的土地使用发生变化，从而引起游牧文明与农耕文明在南北和东西方向交替演进。

400 毫米等降水量线是农耕区和游牧区的分界线，而著名的“胡焕庸线”则代表着人口密度和经济发达程度的分界线。从地理上看，除青藏高原东段以外，胡焕庸线和 400 毫米等降水量线基本重合，揭示了气候与人口密度以及经济形态的高度相关性。


2020 年 400 毫米等降水量线与胡焕庸线。

胡焕庸线，又称黑河—腾冲线，是一条贯穿中国版图的假想直线段。该线从中国东北边境的黑龙江省黑河市（旧称瑷珲）一直延伸到中国西南边境的云南省腾冲市，大致划分出了中国人口在区域上的分布，体现了中国人口东南和西北的分布区域之悬殊差异。

这条假想中的边界线于 1935 年由地理学家胡焕庸首次提出，他根据 1933 年的人口分布图与人口密度图，提出了此概念。在该年《地理学报》第二期发表的《中国人口之分布》一文中写到：

自黑龙江之瑷珲向西南作一直线，至云南之腾冲为止，分全国为东南与西北两部：则此东南部之面积，计四百万平方公里，约占全国总面积之百分之三十六；西北部之面积，计七百万平方公里，约占全国总面积之百分之六十四。惟人口之分布，则东南部计四万万四千万，约占总人口之百分之九十六；西北部之人口，仅一千八百万，约占全国总人口之百分之四。

因为七十年来版图的变化以及人口的增长，根据 2000 年的人口数据，按照胡焕庸线计算，东南部占全国国土面积 43.8% 、总人口 94.1% ；西北部则占总面积 56.2% 、总人口 5.9% 。中国人口在东南和西北两个区域的分布差异仍然十分悬殊。

看着地图，我突发奇想：胡焕庸线基本上平分了现在中国的国土面积，如果不考虑人口，转而考虑中国大陆部分的边界线和海岸线，即大陆部分的“周长”的话，胡焕庸线是否也近乎平分了这个周长？

根据维基等数据源，中越陆地边界长度约为 1281 公里；中老边界长度约为 505 公里；中缅边界长度约为 2129 公里；中印、中不边界总长度约为 2700 公里（因未定边界较长，且争议较多，取平均值）；中尼边界长度约为 1389 公里；中阿边界长度约为 76 公里；中塔边界长度约为 477 公里；中吉边界长度约为 1063 公里；中哈边界长度约为 1783 公里；中俄边界长度约为 4209 公里；中蒙边界长度约为 4630 公里；中朝边界长度约为 1420 公里。中国大陆海岸线长度约为 18000 公里。

黑河近于平分中俄边界，而腾冲近于三分中缅边界，其中腾冲以西北占 1 份，腾冲以东南占 2 份。因此胡焕庸线西北部边界总长约为 14900 公里，东南部边界加上大陆海岸线长度共计约 24700 公里。

结果与我的想象偏差不小，可能因为海岸线崎岖，东南部的“半周长”要超出西北部“半周长”大约 2/3 。

那么对于任意封闭曲线，是否存在一条直线平分其面积，同时也平分了其周长呢？

不妨把这样的曲线称为等分线，我们先来看一道某训练营的入门题：

一条直线 L 与三角形 ΔABC 相交，将其分为两个部分，两部分的周长和面积各自相等。令 I 为 ΔABC 的内切圆圆心，证明 I 位于直线 L 上。

该题中的 L 即我们上面定义的等分线：对于任意三角形，求证其等分线一定经过其内心。

三角形内心有很多性质，其中一个即可以利用内切圆半径，将三角形周长和面积联系起来。









至此，我们已经证明了：直线对三角形周长和面积的等分是该直线经过三角形内心的充分条件，但不是必要条件。

同时，根据上面的证明，我们可以得到以下推理：经过三角形内心的直线，如果它等分了三角形的周长，那么它同时也一定等分了该三角形的面积；或者反过来，如果它等分了三角形的面积，那么它同时也一定等分了该三角形的周长。

注意，这里“经过三角形内心”是一个必要条件。比如，不等腰三角形底边上的中线可以等分三角形的面积，但不能等分三角形的周长；在底边中点的附近找到一个点，可以使得顶点和该点连线等分三角形的周长，但此时分割得到的两个小三角形面积又不相等了。

实际上，任意三角形都存在等分线，但一个三角形最多只存在三条等分线。有兴趣的读者可以自行尝试证明。

下面，我们来考虑四边形。

四边形和三角形的一个显著不同，是四边形有了凸性的概念，即四边形有凸四边形和非凸/一般四边形的区别。

非凸四边形是否一定存在等分线？答案是否定的。







那么对于任意凸四边形，是否一定存在等分线呢？

任意三角形都有内切圆，但任意四边形不一定存在内切圆，所以内心这个性质恐怕用不上。我们转而考虑利用函数的连续性和零值定理。











因此，任意凸封闭曲线都至少存在一条等分线。

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