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S,T 是线性映射,证:rk(ST)≤rk(S),ST 的零空间的维数≤S 与 T 的零空间的维数之和

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发表于 2024-11-8 18:48 | 显示全部楼层 |阅读模式


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发表于 2024-11-9 19:16 | 显示全部楼层




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发表于 2024-11-9 19:19 | 显示全部楼层


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发表于 2024-11-9 19:20 | 显示全部楼层


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 楼主| 发表于 2024-11-10 10:37 | 显示全部楼层
陆老师,有个概念问题想搞清楚。设线性映射S,T对应的线性变换矩阵分别为B,A,
与线性映射ST对应的线性变换矩阵为什么是AB,而不是BA,是不是因为变换矩阵
是右乘于映射作用的行向量,不是左乘列向量?
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 楼主| 发表于 2024-11-11 10:25 | 显示全部楼层
本帖最后由 wilsony 于 2024-11-11 13:36 编辑

陆老师您看到我的留言了吗?
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发表于 2024-11-11 19:19 | 显示全部楼层
首先,有一点是肯定的:

如果 S 是从向量空间 V1 到 V2 的线性映射,与 S 对应的线性变换矩阵是 B ;

T 是从向量空间 V2 到 V3 的线性映射,与 T 对应的线性变换矩阵是 A 。

那么,先作一次线性映射 S ,再作一次线性映射 T ,这样一个从 V1 到 V2 再到 V3

的复合线性映射,它对应的线性变换矩阵就是 AB 。

现在关键的问题是:

这样先做一次线性映射 S ,再作一次线性映射 T 的复合线性映射,应该怎样表示?

我记得过去看到的一本书上说,这种先 S 后 T 的复合线性映射的表示方法是 ST 。

在上面的帖子中,我就是这样理解 ST 的,所以才有上面帖子中这样的解答。

但是,刚才我又在网上搜寻了一下,看到有些网上文章中说:

这样先做一次线性映射 S ,再作一次线性映射 T 的复合线性映射,应该表示为 TS 。

不知道你看到的书上是怎么定义的?

如果你看到的书上也是按照 TS 定义的,那么我上面帖子中的字母表示就应该反一反。

当然这只不过是字母表示的改变,并不会影响实质的证明。
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 楼主| 发表于 2024-11-11 21:57 | 显示全部楼层
先做一次线性映射 S ,相当于用变换矩阵B左乘列向量
再作一次线性映射 T 的复合线性映射,相当于再用变换矩阵A左乘前面变换得到的列向量是吗?
ST是从左至右相继进行变换是吗?
多谢陆老师!
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