不识庐山真面目—— S 形函数

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不识庐山真面目—— S 形函数

原创 吕连国 数学知几何 2024 年 10 月 02 日 19:28 四川

一个学生问我的一道题：



当时，我尝试用构造法和基本不等式，都失败了。后来，我还是回归到了函数：先将其转化为三角函数，再借助于导函数分析单调性，再借助于奇偶性，求得其值域：



而且，我还发现：所求值域的那个函数图象长得特像积分符号——倾斜的大 S ，所以，我将其命名为 S 函数：



但后来，事情出现了一个戏剧性的变化：当我问那个学生这道题是从哪里来的时候，他告诉我这道题来自于他对一个几何问题的思考：



之后，我有一种被愚弄的恍然大悟的感觉：若我们单纯就从几何的角度考虑这个问题，考虑到圆各个方向的等同性及三角形三边的对等性，这个问题变得超级的简单：



这时候，我想到了不识庐山真面目，只缘身在此山中。

但单纯从代数的角度看，此题仍旧不失为一道好的题目。我不知道用初等代数方法能不能搞定它，但就图 2 给出的方法来说，其整个的分析路线还是颇值得回味的。若再加上图 3 、图 4 里面用到的一些转换及分析方法，我们可以清晰地看到这样一条脉络：

几何—>解析几何—>函数—>三角函数—>导函数—>值域—>几何

但若只从几何的角度看它，根本就不用绕那么大的一圈，它就是一个纯几何的问题——三下五除二，超级简单。

那么，从这个问题，我们能得到什么样的一个启示呢？



吕连国 数学知几何