广义梅森数中的素因子

yangchuanju

广义梅森数中的素因子
定义：对于正整数2^x-1，当指数x是素数时叫着梅森数；当指数x是合数时叫着合指梅森数；当指数x既可以是素数又可以是合数时叫着泛梅森数；
定义：对于正整数(b^x-1)/(b-1),当指数x是素数时叫着广义梅森数；当指数x是合数时叫着合指广义梅森数；当指数x既可以是素数又可以是合数时叫着泛广义梅森数。
式中b和x都是正整数，b≥2，x≥2。
当b=2时，(b^x-1)/(b-1)=2^x-1是一个泛梅森数；当x是素数时2^x-1是梅森数；当x是合数时2^x-1是合指梅森数；
当b>2时，(b^x-1)/(b-1)是一个泛广义梅森数；当x是素数时(b^x-1)/(b-1)是广义梅森数；当x是合数时(b^x-1)/(b-1)是合指广义梅森数。

在泛广义梅森数(b^x-1)/(b-1)中给定一个底数b和一系列指数x，计算知泛广义梅森数值或许是合数，或许是素数；
当b=1或x=1时，(b^x-1)/(b-1)总等于1，不做研究。
梅森数2^x-1中既有素数，也有合数，其中合数多素数少，迄今为止仅发现52个梅森素数；
梅森数2^x-1之中没有重因子，没有幂因子，即一个素数p如果是某一个梅森数2^x1-1的因子后，p,p^2,p^3不可能再是另一个梅森数2^x2-1的因子。

A122094给出10000个梅森数2^p-1的素因子，A137332给出对应的10000梅森数素因子的素指数p；A218582给出10000个不是梅森数素因子的素数——
A122094                A137332        A218582
梅森数因子                对应指数        非梅森数因子
1 3                1 2        1 2
2 7                2 3        2 5
3 23                3 11        3 11
4 31                4 5        4 13
5 47                5 23        5 17
6 89                6 11        6 19
7 127                7 7        7 29
8 167                8 83        8 37
9 223                9 37        9 41
10 233                10 29        10 43
11 263                11 131        11 53
12 359                12 179        12 59
13 383                13 191        13 61
14 431                14 43        14 67
15 439                15 73        15 71
16 479                16 239        16 73
17 503                17 251        17 79
18 719                18 359        18 83
19 839                19 419        19 97
20 863                20 431        20 101

但对于泛梅森数就不同了，泛梅森数中可以有多个相同的素因子p，也可以有多重幂因子存在。
2^4-1=15=3*5，2^6-1=63=3^2*7，3和5虽不是梅森数因子但都是广义梅森数的因子，且3^2是一个幂数；
7是梅森数2^3-1的素因子，但它又是泛梅森数2^6-1,2^9-1,2^11-1的素因子。
对于泛梅森数2^x-1，除2以外的其它素数都是它的素因子，其中的指数x可以是素数，也可以是合数。

yangchuanju

对于广义梅森数（b^p-1)/(b-1)，也只有部分素数是它的素因子，其中的指数是素数。
A072859给出10000个广义梅森数(10^x-1)/9的素因子（尚需加上3），A249330给出57个不是(10^x-1)/9的素因子的素数——       
A072859        A249330
1 11        1 2
2 37        2 5
3 41        3 7
4 53        4 13
5 79        5 17
6 83        6 19
7 107        7 23
8 173        8 29
9 227        9 31
10 239        10 43
11 271        11 47
12 317        12 59
13 347        13 61
14 359        14 67
15 467        15 71
16 479        16 73
17 563        17 89
18 587        18 97
19 643        19 101
20 719        20 103

yangchuanju

给定一个特定的指数x，分别计算不同底数b的(b^x-1)/(b-1)因子积（分解式），可得一竖列因子积表；
给定多个特定的指数x，分别计算不同底数b的(b^x-1)/(b-1)因子积（分解式），可得多个竖列因子积表，形成一张较大的二维表；
在这张大二维表中的各行因子积就是特定底数b，不同指数x的(b^x-1)/(b-1)因子积（分解式）表。（表中的指数x也可只取素数。）

亦或给定一个特定的底数b，分别计算不同指数x的(b^x-1)/(b-1)因子积（分解式），可得一竖列因子积表；
给定多个特定的底数b，分别计算不同指数x的(b^x-1)/(b-1)因子积（分解式），可得多个竖列因子积表，形成一张较大的二维表；
在这张大二维表中的各列因子积还是特定底数b，不同指数x的(b^x-1)/(b-1)因子积（分解式）表。（表中的指数x也可只取素数。）

可以分别统计二维表中各行或各列之中所含素因子及缺少的素因子，
其中第一种二维表的第一行（或第二种二维表的第一列）的底数都等于2，就是梅森数（指数仅取素数时）或泛梅森数（指数不只是素数时）；
第一种二维表的其它行（或第二种二维表的其它列）的底数不等于2，就是广义梅森数（指数仅取素数时）或泛广义梅森数（指数不只是素数时）。
下面就做一张指数仅取素数，底数为正整数的第二种格式的二维表，用于统计不同底数列或不同指数行中的素数个数。

yangchuanju

在(11^x-1)/(11-1)分解式中
当指数x是素数时，只有素因子
2,3,5,7,19,43,83,107,167,227，……
各1个，且没有重复因子和幂因子；
没有素因子11,13,17,23,29,31,37,41,47，……

当指数x是合数时，
每2指数中有1对素因子2和3，位于x=2k；
每3指数中有1对素因子7和19，位于n=3k；
每4指数中有1个素因子61，位于n=4k；另有指数2的素因子2和3；
每5指数中有1对素因子5和3221，位于x=5k；
每6指数中有1个素因子37，位于n=6k；另有指数2的素因子2和3，指数3的素因子7和19；
每7指数中有1对素因子43和45319，位于n=7k；
每8指数中有1个素因子7321，位于n=8k；另有指数2的素因子2和3，指数4的素因子61；
每9指数中有1个素因子1772893，位于n=9k；另有指数3的素因子7和19；
每10指数中有1个素因子13421，位于n=10k；另有指数2的素因子2和3，指数5的素因子5和3221；
每11指数中有1对素因子15797和1806113，位于n=7k；
每12指数中有1对素因子13和1117，位于n=12k；指数2,3,4,6的素因子略；
每13指数中有1对素因子1093和3158528101<10>；位于n=13k；
……
小素因子2,3,5,7,13,17,19……最早出现在指数2,2,5,3,12,16,3……中，
有的（2和5）是指数p处，有的（3,13,17等）是指数p-1处，有的（7,19,37,43,61等）是指数p-1的某个约数处。
没有素因子11，其余都有。

对照——
在(10^x-1)/9分解式中
当指数x是素数时，只有素因子
3,11,37,41,53,79,83,107，……
各1个，且没有重复因子和幂因子；
没有素因子2,5,7,13,17,19,23，……
A072859给出10000个(10^x-1)/9素因子（不包括3），
A249330给出57个(10^x-1)/9非素因子。

当指数x是合数时，
每2指数中有1个素因子11，位于x=2k；
每3指数中有1个素因子3和37，位于x=3k；
每4指数中有1个素因子101，位于x=4k；
每5指数中有1个素因子41和271，位于n=5k；
每6指数中有1个素因子7和13，位于n=6k；
……
除2和5以外的所有的素数都要出现！

yangchuanju

在(n^11-1)/(n-1)分解式中
当n取正整数（包括素数和合数）时，
每11底数中有1个素因子11；
每23底数中有10个素因子23；
每89底数中有10个素因子89；
每67底数中有10个素因子67；
每199底数中有10个素因子199；
还有素因子331,353,397,419,463,617,661,727,859,881,947,991……，均模11余1。

当n只取素数时，素因子种类数相同，
只是个数有所不同，需找出底数中的素数。

对照——
在(n^10-1)/(n-1)分解式中
当n取正整数（包括素数和合数）时，
每2底数中有1个素因子2，位于2k+1；
每3底数中有1个素因子3，位于3k+2；
每5底数中有2个素因子5，位于5k+1,5k+4；
每7底数中有1个素因子7，位于7k+6；
每19底数中有1个素因子19，位于19k+18；
每11底数中有9个素因子11，位于11k+2,3,4,5,6,7,8,9,10；
每31底数中有9个素因子31，位于31k+2,4,8,15,16,23,27,29,30；
每41底数中有9个素因子41，位于41k+4,10,16,18,23,25,41,37,40；
还有每p个底数有1个素因子的素数17,23,29,37,43,47……；
还有每p个底数有9个素因子的素数61,71,101,131,151,181,191,211,241,251……，均模10余1。

当n只取素数时，素因子种类数相同，
只是个数有所不同，需找出底数中的素数。
底数只取素数时也会包括全部素因子。

yangchuanju

广义梅森素数       
在广义梅森数(b^x-1)/(b-1)中，有相当多素数，它们就是我们所说的广义梅森素数，式中指数x只取素数；       
尚若x取合数，则合指泛广义梅森数中不会有素数；       
然底数b可以取大于等于2的素数或合数，只要指数是素数，就有许多素数存在。       
       
素底素指中的广义梅森素数——       
取定不大于1000的168个素底数b，不大于127的31个素指数x，共得到268个素数（14个梅森素数+254个广义梅森素数），其中底数127以内的88个；       
当然这样情况下的底数可以是合数，其中也有一些广义梅森素数存在；       
取定不大于1000的168个素指数x，不大于127的31个素底数b，共得到123个素数（12个梅森素数+121个广义梅森素数），其中底数127以内的88个；       
尚若指数x取合数，则合指泛广义梅森数中不会有素数。       
       
12个梅森素数加76个广义梅森素数——       
底数        指数        位数        广义梅森素数
2        2        1        3
2        3        1        7
2        5        2        31
2        7        3        127
2        13        4        8191
2        17        6        131071
2        19        6        524287
2        31        10        2147483647<10>
2        61        19        2305843009213693951<19>
2        89        27        618970019642690137449562111<27>
2        107        33        162259276829213363391578010288127<33>
2        127        39        170141183460469231731687303715884105727<39>

3        3        2        13
5        3        2        31
17        3        3        307
3        7        4        1093
7        5        4        2801
41        3        4        1723
59        3        4        3541
71        3        4        5113
89        3        4        8011
5        7        5        19531
13        5        5        30941
17        5        5        88741
101        3        5        10303
3        13        6        797161
23        5        6        292561
29        5        6        732541
13        7        7        5229043
43        5        7        3500201
5        11        8        12207031
17        7        8        25646167
73        5        8        28792661
79        5        8        39449441
83        5        8        48037081
5        13        9        305175781
31        7        9        917087137
127        5        9        262209281
7        13        11        16148168401<11>
61        7        11        52379047267<11>
73        7        12        153436090543<12>
89        7        12        502628805631<12>
17        11        13        2141993519227<13>
11        17        17        50544702849929377<17>
53        11        18        178250690949465223<18>
11        19        19        6115909044841454629<19>
37        13        19        6765811783780036261<19>
43        13        20        40911050578149780601<20>
59        13        22        1809873235795386729241<22>
19        19        24        109912203092239643840221<24>
31        17        24        751670559138758105956097<24>
97        17        32        62065212901958868055012327674641<32>
5        47        33        177635683940025046467781066894531<33>
67        19        33        751410597400064602523400427092397<33>
107        17        33        298001434996696772340986314384801<33>
109        17        33        400706797255068758036954693985521<33>
3        71        34        3754733257489862401973357979128773<34>
103        19        37        1719123581448138027562643544243028633<37>
19        31        39        243270318891483838103593381595151809701<39>
31        31        45        568972471024107865287021434301977158534824481<45>
113        23        46        1484520425576434196455942238665054573307722183<46>
127        23        47        19369349555573971915591022666834837417546889857<47>
3        103        49        6957596529882152968992225251835887181478451547013<49>
53        31        52        (53^31-1)/52<52> = 5451909197...23<52>
71        31        56        (71^31-1)/70<56> = 3498732750...81<56>
17        47        57        (17^47-1)/16<57> = 4236227957...67<57>
19        47        59        (19^47-1)/18<59> = 7016923466...41<59>
127        31        64        (127^31-1)/126<64> = 1310825268...97<64>
61        37        65        (61^37-1)/60<65> = 1901308741...97<65>
53        41        69        (53^41-1)/52<69> = 9534706082...01<69>
97        37        72        (97^37-1)/96<72> = 3375071166...41<72>
113        37        74        (113^37-1)/112<74> = 8216453205...61<74>
19        59        75        (19^59-1)/18<75> = 1553066139...21<75>
71        41        75        (71^41-1)/70<75> = 1138922722...41<75>
11        73        76        (11^73-1)/10<76> = 1051153199...53<76>
19        61        77        (19^61-1)/18<77> = 5606568762...01<77>
89        43        82        (89^43-1)/88<82> = 7573342771...11<82>
17        71        87        (17^71-1)/16<87> = 1437981951...27<87>
5        127        89        (5^127-1)/4<89> = 1469367938...31<89>
89        47        90        (89^47-1)/88<90> = 4751684973...31<90>
37        71        110        (37^71-1)/36<110> = 6109700310...67<110>
41        83        133        (41^83-1)/40<133> = 1815516149...03<133>
19        107        136        (19^107-1)/18<136> = 3727029213...41<136>
89        71        137        (89^71-1)/88<137> = 2898730229...51<137>
61        107        190        (61^107-1)/60<190> = 1787068072...67<190>
79        109        205        (79^109-1)/78<205> = 8897302326...81<205>
47        127        211        (47^127-1)/46<211> = 4939353696...97<211>
89        109        211        (89^109-1)/88<211> = 3459617236...41<211>

yangchuanju

在(10^x-1)/9分解式中
当指数x是素数时，只有素因子
3,11,37,41,53,79,83,107，……
各1个，且没有重复因子和幂因子；
没有素因子2,5,7,13,17,19,23，……
A072859给出10000个(10^x-1)/9素因子（不包括3），
A249330给出57个(10^x-1)/9非素因子。

当指数x是合数时，
每2指数中有1个素因子11，位于x=2k；
每3指数中有1对素因子3和37，位于x=3k；
每4指数中有1个素因子101，位于x=4k；
每5指数中有1对素因子41和271，位于n=5k；
每6指数中有1对素因子7和13，位于n=6k；
每7指数中有1对素因子239和4649，位于n=7k；
每8指数中有1对素因子73和137，位于n=8k；
每9指数中有1个素因子333667，位于x=9k；
每10指数中有1个素因子9091，位于x=10k；
每11指数中有1对素因子21649和513239，位于n=11k；
每12指数中有1个素因子9901，位于x=12k；
每13指数中有1组素因子53,79和265371653，位于n=13k；
……
每26指数中就有1个素因子859出现，位于n=26k；
每27指数中就有1个素因子757出现，位于n=27k；
除2和5以外的所有的素数都要出现！

不大于1000个（2和5以外的）166个素数因子出现的指间距如下——
素数        指间距        素数        指间距        素数        指间距        素数        指间距
3        3        197        98        449        32        727        726
7        6        199        99        457        152        733        61
11        2        211        30        461        460        739        246
13        6        223        222        463        154        743        742
17        16        227        113        467        233        751        125
19        18        229        228        479        239        757        27
23        22        233        232        487        486        761        380
29        28        239        7        491        490        769        192
31        15        241        30        499        498        773        193
37        3        251        50        503        502        787        393
41        5        257        256        509        508        797        199
43        21        263        262        521        52        809        202
47        46        269        268        523        261        811        810
53        13        271        5        541        540        821        820
59        58        277        69        547        91        823        822
61        60        281        28        557        278        827        413
67        33        283        141        563        281        829        276
71        35        293        146        569        284        839        419
73        8        307        153        571        570        853        213
79        13        311        155        577        576        857        856
83        41        313        312        587        293        859        26
89        44        317        79        593        592        863        862
97        96        331        110        599        299        877        438
101        4        337        336        601        300        881        440
103        34        347        173        607        203        883        441
107        53        349        116        613        51        887        886
109        108        353        32        617        88        907        151
113        112        359        179        619        618        911        455
127        42        367        366        631        315        919        459
131        130        373        186        641        32        929        464
137        8        379        378        643        107        937        936
139        46        383        382        647        646        941        940
149        148        389        388        653        326        947        473
151        75        397        99        659        658        953        952
157        78        401        200        661        220        967        322
163        81        409        204        673        224        971        970
167        166        419        418        677        338        977        976
173        43        421        140        683        341        983        982
179        178        431        215        691        230        991        495
181        180        433        432        701        700        997        166
191        95        439        219        709        708               
193        192        443        221        719        359               

yangchuanju

在(n^3-1)/(n-1)分解式中
当n取正整数（包括素数和合数）时，
每3底数中有1个素因子3，位于3k+1；
每7底数中有2个素因子7，位于7k+2,4；
每13底数中有2个素因子13，位于13k+3,9；
每19底数中有2个素因子19，位于19k+7,11；
每31底数中有2个素因子31，位于31k+5,25；
还有素因子37,43,61,67,73,79,97……，均模3余1；
没有素因子2,5,11,17,23,29,41,47,53,59……

在(n^5-1)/(n-1)分解式中
当n取正整数（包括素数和合数）时，
每5底数中有1个素因子5，位于5k+1；
每11底数中有4个素因子11，位于11k+3,4,5,9；
每31底数中有4个素因子31，位于31k+2,4,8,16；
每41底数中有4个素因子41，位于41k+10,16,18,37；
每61底数中有4个素因子61，位于61k+9,20,34,58；
还有素因子71,101,131,151,181,191,211……，均模5余1；
没有素因子2,3,7,13,17,19,23,29,37……

在(n^15-1)/(n-1)分解式中
当n取正整数（包括素数和合数）时，
每3底数中有1个素因子3，位于3k+1，来自(n^3-1)；
每5底数中有1个素因子5，位于5k+1，来自(n^5-1)；
每7底数中有2个素因子7，位于7k+2,4，来自(n^3-1)；
每11底数中有4个素因子11，位于11k+3,4,5,9，来自(n^5-1)；
模3余1的素因子都会有，因为它们都是(n^3-1)/(n-1)的素因子；
模5余1的素因子都会有，因为它们都是(n^5-1)/(n-1)的素因子；
没有素因子17,23,29……，它们即非模3余1又非模5余1；
在底数是2的幂时都有1个素因子151，它是(n^15-1)/(n-1)除以(n^3-1)和(n^5-1)的余因子；
在底数是3的幂时都有1个素因子4561，它是(n^15-1)/(n-1)除以(n^3-1)和(n^5-1)的余因子；
在底数是4的幂时都有1个素因子331，它是(n^15-1)/(n-1)除以(n^3-1)和(n^5-1)的余因子；
在底数是5的幂时都有1组素因子71*181*1741；
在底数是6的幂时都有1组素因子43*311*1171*1201；
…………

yangchuanju

梅森数的素因子形式
众所周知，梅森数自身都是模8余7的，其素因子、复合因子则有模8余7和余1两类；
梅森数2^p-1自身及其素因子、复合因子都是指数p的2k倍加1——s=2kp=1；这里的k是正整数。
梅森数指数模4余3素数时，素因子是指数p的2,8,10,16,……8n,8n+2倍加1；
梅森数指数模4余1素数时，素因子是指数p的6,8,14,16,……8n,8n+6倍加1.

泛梅森数（指数是合数的2^p-1形式的整数）的素因子形式
梅森数2^3-1=7、2^5-1=31都模8余7，
泛梅森数2^15-1=32767也模8余7，
7*31=217模8余1，余因子32767/7/31=151模8余7。
(151-1)/15=10

梅森数2^3-1=7、2^7-1=127都模8余7，
泛梅森数2^21-1=2097151也模8余7，
2097151 = 7^2 · 127 · 337
7*127模8余1，余因子2097151/7/127=7*337模8余7，337模8余1。
(337-1)/21=16

梅森数2^5-1=31、2^7-1=127都模8余7，
泛梅森数2^35-1=34359738367<11>也模8余7，
34359738367<11> = 31 · 71 · 127 · 122921
31*127模8余1，余因子34359738367/31/127=71*122921模8余7，122921模8余1。
(71-1)/35=2；(122921-1)/35=3512，3512模8余0

梅森数指数模4余3素数时，素因子是指数p的2,8,10,16,……8n,8n+2倍加1；
梅森数指数模4余1素数时，素因子是指数p的6,8,14,16,……8n,8n+6倍加1.
泛梅森数指数是奇合数，余因子减1是合指数的多少倍不好说，但还是偶数倍的——
p=9的余因子73减1是9的8倍，8模8余0；
p=25的余因子601减1是25的24倍；1801减1是25的72倍；两倍数24,72均模8余0；
p=27的余因子262657减1是27的9728倍，模8余0；
p=33的余因子599479减1是33的18166倍，模8余0；
p=39的余因子79减1是39的2倍；121369减1是39的3112倍，3112模8余0；
p=45的余因子631减1是45的14倍；23311减1是45的518倍；两倍数均模8余6；
p=51的余因子103减1是51的2倍；21431减1是51的42倍；11119减1是51的218倍；三倍数均模8余2；
p=55的余因子881减1是55的16倍；3191减1是55的58倍；201961减1是55的3672倍；三倍数分别模8余0,2,0；
p=57的余因子32377减1是57的568倍；1212847减1是57的21278倍；两倍数均模8余6；
p=63的余因子92737减1是63的1472倍；649657减1是63的10312倍；两倍数均模8余0；
p=65的余因子145295143558111<15>减1是2235309900894倍，模8余0；……
各奇合数指数泛梅森数的余因子模8余0,2,6的都有，但没有模8余4的；模余数是0,2，还是0,6不易确定。
若用试除法分解泛梅森数的余因子，还不如分解梅森数快捷明确一点！

对于偶指数泛梅森数的余因子模8余数中还有余1,3,4的，只能说是指数的若干倍加1——
p=4的余因子5减1是4的1倍；
p=8的余因子17减1是8的2倍；
p=10的余因子11减1是10的1倍；
p=12的余因子13减1是12的1倍；
p=14的余因子43减1是14的3倍；
p=18的余因子19减1是18的1倍；73减1是18的4倍；
p=20的余因子41减1是20的2倍；
p=22的余因子683减1是22的31倍；……

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最小的10个未找到任何素因子的梅森数（6万内共528个）                       
status(?)        素指        digits        number
C        1277        385        2^1277-1<385>=2601983048...71<385>
C        1619        488        2^1619-1<488>=2331111140...87<488>
C        1753        528        2^1753-1<528>=5076710506...91<528>
C        2267        683        2^2267-1<683>=2722702375...27<683>
C        2273        685        2^2273-1<685>=1742529520...91<685>
C        2423        730        2^2423-1<730>=2487021237...07<730>
C        2521        759        2^2521-1<759>=7881684910...51<759>
C        2713        817        2^2713-1<817>=4947413802...91<817>
C        2719        819        2^2719-1<819>=3166344833...87<819>

最小的10个未分解到底素因子的梅森数（6万内共5147个）                       
CF        1213        366        2^1213-1<366>=327511·7150798418...71<63>·6022881435...11<297>
CF        1217        367        2^1217-1<367>=1045741327<10>·6116773272...79<55>·2205339002...99<56>·1599862690...13<248>
CF        1229        370        2^1229-1<370>=36871·46703·10543179280661916121033<23>·9536289355...57<55>·5339295584...87<284>
CF        1231        371        2^1231-1<371>=531793·5684759·18207494497<11>·63919078363121681207<20>·1050967524...39<329>
CF        1237        373        2^1237-1<373>=2538207129...83<70>·9323469976...37<303>
CF        1249        376        2^1249-1<376>=97423·52358081·2379005273<10>·9345276045907272726364012481<28>·8547356648...69<326>
CF        1259        379        2^1259-1<379>=875965965904153<15>·1283780190...31<56>·8826461643...09<309>
CF        1283        387        2^1283-1<387>=4824675346114250541198242904214396192319<40>·3451567269...53<347>
CF        1291        389        2^1291-1<389>=998943080897<12>·84051400422953302189544581841<29>·5077368744...11<348>
CF        1297        391        2^1297-1<391>=12097392013313<14>·64873964199444497<17>·8002586889...13<59>·4344219763...47<302>

最小的10个未分解到底的泛梅森数（6000内共2859个）                       
CF        1207        364        2^1207-1<364>=131071·228479·48544121·212885833·7121450524...71<337>
CF        1243        375        2^1243-1<375>=23·89·3391·23279·65993·1868569·1066818132868207<16>·7124875134...91<337>
CF        1265        381        2^1265-1<381>=23^2·31·47·89·881·3191·14951·121441·178481·201961·533831·4036961·4103188409<10>·136149590957161<15>·2646507710984041<16>·556590676780973231<18>·199957736328435366769577<24>·44667711762797798403039426178361<32>·3177637419...71<223>
CF        1315        396        2^1315-1<396>=31·23671·20821711·13572264529177<14>·120226360536848498024035943<27>·6564920264482202699756113871095601<34>·383725126655170964501315730676446647<36>·1138801091...41<275>
CF        1325        399        2^1325-1<399>=31·601·1801·6361·69431·71551·1067951·2594351·16289551·19525201·20394401·29324808311<11>·197748738449921<15>·36614110124735294634435619027766763481<38>·1810117737...01<282>
CF        1331        401        2^1331-1<401>=23·89·727·2663·80497247099660420588857<23>·69474230349847530551244234511<29>·1786393878363164227858270210279<31>·1314372480...47<60>·9007418824...51<250>
CF        1339        404        2^1339-1<404>=8191·2550183799<10>·2436553406461804657<19>·3976656429941438590393<22>·5928731461...43<350>
CF        1343        405        2^1343-1<405>=2687·131071·41216671·202029703·1113491139767<13>·548748884195638359847<21>·525281795214043482559587344519773159<36>·2039712676...77<312>
CF        1345        405        2^1345-1<405>=31·13822297·2427739777657193401<19>·119136832329401379240227791<27>·6862598850...63<74>·9029536498...01<278>
CF        1349        407        2^1349-1<407>=40471·228479·524287·48544121·95905807·212885833·2557269681...67<367>

指数6万以内已分解到底的10个最大梅森数（6万内共314个）                       
FF        32531        9793        2^32531-1<9793>=65063·25225122959<11>·3905004770...91<9778>
FF        32611        9817        2^32611-1<9817>=1717490927<10>·64312870543<11>·817449326995098006239263<24>·16776537025470371142795572474637384977<38>·5114852238...77<9736>
FF        35339        10639        2^35339-1<10639>=5776625742089<13>·291148630508887<15>·7028028455954046211351<22>·4153830438466899077960892137<28>·2558264891...07<10562>
FF        41263        12422        2^41263-1<12422>=1402943·983437775590306674647<21>·1823577269...67<12395>
FF        41521        12500        2^41521-1<12500>=2989513·249375127·55803711703045241786952239<26>·2801130209...59<12459>
FF        41681        12548        2^41681-1<12548>=1052945423<10>·16647332713153<14>·2853686272534246492102086015457<31>·3404807192...97<12495>
FF        51487        15500        2^51487-1<15500>=57410994232247<14>·17292148963401772464767849635553<32>·1363147072...97<15455>
FF        53381        16070        2^53381-1<16070>=15588960193<11>·38922536168186976769<20>·155991271597169062945033668006103<33>·2023391688...01<16008>
FF        57131        17199        2^57131-1<17199>=457049·49644668023<11>·359585713337<12>·7535393191738347569<19>·2269543744...37<17152>
FF        58199        17520        2^58199-1<17520>=237604901713907577052391<24>·1857215297...57<17497>