蝴蝶定理及其推广形式的解析几何巧证

Ysu2008

【证明】

以M为原点，AB为X轴，MO为Y轴建立直角坐标系。

设圆O半径为 \(r\)，圆心O坐标为\(\left( 0{,}d\right)\)，则圆O方程为

\(F_1=x^2+\left( y-d\right)^2-r^2=0\)

将相交于原点的两条直线CD、EF看作一条退化的双曲线，其方程为

\(F_2=Ax^2+Bxy+Cy^2=0\)

通过\(F_1 , F_2\)四个交点(C、D、E、F)的一切二次曲线，方程形式必为

\(F=\lambda_1F_1+\lambda_2F_2=0\) ，其中 \(\lambda_1\ {,}\ \lambda_2\ \in\mathbb{R}\)

即

\(F=\lambda_1\left( x^2+y^2-2yd+d^2-r^2\right)+\lambda_2\left( Ax^2+Bxy+Cy^2\right)=0\)

设二次曲线族\(F\)与X轴的交点为 \(V\ {,}\ W\)，联立\(\begin{cases}
F=0\\
y=0
\end{cases}\Rightarrow\lambda_1\left( x^2+d^2-r^2\right)+\lambda_2Ax^2=0\)
上式一次项系数为 0 ，两根之和必为 0，\(\overrightarrow{MV}+\overrightarrow{MW}=0\Rightarrow\left| MV\right|=\left| MW\right|\)，该结论对二次曲线族\(F\)的所有曲线都成立。

将CF、ED两直线也看作一条退化的二次曲线，该曲线恰好也是曲线族\(F\)的一员，它与X轴的交点分别为 \(P\ {,}\ Q\)，所以 \(PM\ =\ MQ\ \)，证毕。

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相传，蝴蝶问题最早作为一个征解问题出现在公元1815年英国的一本杂志《绅士日记》（Gentleman's Diary）39-40页上。

第一个给出证明的是自学成才的英国中学数学教师W.G.霍纳（此人正是多项式方程近似根“霍纳法”的发明人），他于当年给出了一个纯几何证明。

“蝴蝶定理”这个名称最早出现在《美国数学月刊》1944年2月号，题目的几何图形象一只蝴蝶，该命题便以此得名。

本文利用二次曲线族的证法则是 K.萨蒂亚纳拉亚纳（Kesirajn Satyanarayana）于1981年在一本杂志上给出。

Ysu2008

【证明】
(0)、以M为原点，AB为X轴建立直角坐标系。

(1)、设圆锥曲线\(F_1\)的方程为 \(F_1=A_1x^2+B_1xy+C_1y^2+D_1x+E_1y+F=0\)
设A点坐标为\(\left( a{,}0\right)\)，B点坐标则必为\(\left( -a{,}0\right)\)，有

\(\because F_1\left( a{,}0\right)=F_1\left( -a{,}0\right)=0\)
\(\Rightarrow A_1a^2+D_1a+F_1=A_1a^2-D_1a+F_1\)
\(\Rightarrow2D_1a=0\Rightarrow D_1=0\)

圆锥曲线\(F_1\)的\(x\)一次项系数为0，方程可简化为 \(F_1=A_1x^2+B_1xy+C_1y^2+E_1y+F=0\)

(2)、将相交于原点的两条直线CD、EF看作一条退化的双曲线，其方程为

\(F_2=A_2x^2+B_2xy+C_2y^2=0\)

(3)、通过C、D、E、F四点的圆锥曲线族\(F\)的方程为

\(F=\lambda_1F_1+\lambda_2F_2\)，其中 \(\lambda_1{,}\lambda_2\mathbb{\in R}\)

即

\(F=\lambda_1\left( A_1x^2+B_1xy+C_1y^2+E_1y+F_1\right)+\lambda_2\left( A_2x^2+B_2xy+C_2y^2\right)=0\)

(4)、将\(y=0\)代入\(F\)求P、Q坐标，有

\(\lambda_1\left( A_1x^2+F_1\right)+\lambda_1A_2x^2=0\)

上式一次项系数为0，两根之和为0，\(\overrightarrow{MP}+\overrightarrow{MQ}=0\)
所以线段\(PM=MQ\)，证毕。

Ysu2008

【证明】
(0)、以M为原点，AB为X轴建立直角坐标系。

(1)、设圆锥曲线\(F_1\)的方程为\(F_1=A_1x^2+B_1xy+C_1y^2+D_1x+E_1y+F_1=0\)
将\(y=0\)代入\(F_1\)求A、B坐标，有
\(A_1x^2+D_1x+F_1=0\)
\(\therefore\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-\frac{D_1}{A_1}\times\frac{A_1}{F_1}=-\frac{D_1}{F_1}\)
\(\therefore\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=-\frac{D_1}{F_1}\)   …………（结论一）

(2)、将相交于M的两条直线CD、EF看作一条退化的双曲线，其方程为

\(F_2=A_2x^2+B_2xy+C_2y^2=0\)

(3)、通过C、D、E、F四点的圆锥曲线族\(F\)的方程为

\(F=\lambda_1F_1+\lambda_2F_2\)，其中 \(\lambda_1{,}\lambda_2\ \in\mathbb{R}\)

即

\(F=\lambda_1\left( A_1x^2+B_1xy+C_1y^2+D_1x+E_1y+F_1\right)+\lambda_2\left( A_2x^2+B_2xy+C_2y^2\right)=0\)

(4)、将\(y=0\)代入\(F\)求P、Q坐标，有
\(\lambda_1\left( A_1x^2+D_1x+F_1\right)+\lambda_2A_2x^2=0\)
\(\Rightarrow\left( \lambda_1A_1+\lambda_2A_2\right)x^2+\lambda_1D_1x+\lambda_1F_1=0\)
\(\therefore\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}=\frac{x_1+x_2}{x_1x_2}=-\frac{\lambda_1D_1}{\lambda_1A_1+\lambda_2A_2}\times\frac{\lambda_1A_1+\lambda_2A_2}{\lambda_1F_1}=-\frac{D_1}{F_1}\)
\(\therefore\frac{1}{p}+\frac{1}{q}=-\frac{D_1}{F_1}\)  …………（结论二）
由结论一、结论二可得 \(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{p}+\frac{1}{q}\)，证毕。

Ysu2008

以上证明都遵循同一个套路，一以贯之；
但，曲线名用 \(F_i\) 是个小BUG，因为常数项恰好也是 \(F_i\) .

luyuanhong

楼上 Ysu2008 的帖子很好！已收藏。

drc2000再来

Ysu2008先生,请问对抛物线,有何推广的结论?

Ysu2008

drc2000再来 发表于 2025-1-11 17:17
Ysu2008先生,请问对抛物线,有何推广的结论?

结论对抛物线也成立。