D,E,F 是 BC,CA,AB 内三点，求证：ΔAEF,ΔBFD,ΔCDE 中至少有一个面积≤ΔABC面积／4

Ysu2008

波斯猫猫

已知：△DEF内接于△ABC，求证：位于顶点处的三个三角形
至少有一个的面积不大于△ABC面积的1/4。

    思路：如图，假设位于顶点处的三个三角形

的面积都大于△ABC面积的1/4，则显然有

afsinA＞(a+b)(e+f)sinA/4，即af＞(a+b)(e+f)/4。

    同理：bc＞(a+b)(c+d)/4，de＞(c+d)(e+f)/4。

∴  abcdef＞(a+b)^2(c+d)^2(e+f)^2/64
     
    ≥4ab.4cd.4ef/64=abcdef，即0＞0。矛盾。
  
    故命题得证。

luyuanhong

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Ysu2008

波斯猫猫 发表于 2025-1-27 19:17
已知：△DEF内接于△ABC，求证：位于顶点处的三个三角形
至少有一个的面积不大于△ABC面积的1/4。

此题是第 8 届国际奥赛试题，书上的解法也是用的反证。