一道复杂的美国数学邀请赛竞赛题

luyuanhong

一道复杂的美国数学邀请赛竞赛题

原创 Wittt ECONOMICS RULES 2025 年 01 月 02 日 00:16 重庆



又有一段时间没有分享数学了，手痒了，分享一道最近做过的数学竞赛题。这道题是上个世纪的老题，但思维方法值得学习。

题是这样的：



分析：

这道题由四个方程组成的方程组，理论上四个方程解四个未知数是可以通过带入消元解出来的，但在考试的时候这样的硬算并不是个好方法，除非你的计算能力确实很逆天。所以应该寻找其他方法，通过观察方程组，发现每个方程的形式是一致的，不同的地方在于数字2，4，6，8不一样，因此可以将这四个数理解为一个一般方程的四个解，再通过方程根的关系解答。



总结：

这道题属于结构良好的方程组题，对于这类题我们都可以优先考虑利用解统一方程的方法去求解。在这里有一个重要的思维就是构建方程的思维，当我们已知某几个数是某方程的解时，可以通过利用这些根构建该方程，这通常有利于解决较难的计算问题。比如下面的这道题的计算就是如此：





Wittt

波斯猫猫

一道复杂的美国数学邀请赛竞赛题（见《数学期刊》）

原创 Wittt ECONOMICS RULES 2025 年 01 月 02 日 00:16 重庆

题：已知：x/(4-1)+y/(4-9)+z/(4-25)+w/(4-49) =1， x/(16-1)+y/(16-9)+z/(16-25)+w/(16-49) =1，
      
         x/(36-1)+y/(36-9)+z/(36-25)+w/(36-49) =1， x/(64-1)+y/(64-9)+z/(64-25)+w/(64-49) =1，
      
       求x+y+z+w  (原题见《数学期刊》).  

思路：针对条件，显然关于t的方程  x/(t-1)+y/(t-9)+z/(t-25)+w/(t-49) =1，有根t=4，16，36，64.  

令t-25=a，则方程变为  x/(a+24)+y/(a+16)+z/a+w/(a-24) =1 ，且有根a=-21，-9，11，39.

经简单计算，可化为a^4- (x+y+z+w-16)a^3+ra^2+ea+s=0.

由韦达定理有，x+y+z+w-16=-21-9+11+39=20，即x+y+z+w=36.      

luyuanhong

下面是我过去在《数学中国》发表过的一个帖子：