万字忆巨擘：不朽的希尔伯特（Hilbert）

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万字忆巨擘：不朽的希尔伯特（Hilbert）

原创 数理周四 数理拾光 2025 年 01 月 23 日 18:23 北京



今天是 2025 年 1 月 23 日，距离那位伟大的数学家大卫·希尔伯特（David Hilbert）诞辰已过去了 163 个春秋。1862 年的今天，他出生于东普鲁士的柯尼斯堡附近的一个名叫韦劳的小镇，一个日后因七桥问题和哥德尔不完备性定理而闻名遐迩的地方。

希尔伯特的一生，是与数学相伴的一生，他的智慧光芒不仅照亮了 20 世纪初的数学天空，更穿透时空，至今仍指引着数学前沿的探索。从哥廷根的辉煌到纳粹阴影下的坚守，从几何基础的重塑到 23 个问题的提出，希尔伯特以其深邃的思想和不懈的探索精神，为数学这座宏伟大厦奠定了坚实的基础。

今天，在他诞辰 163 周年之际，让我们一同走进这位数学大师，回顾他波澜壮阔的学术人生，感受他那永不熄灭的数学之魂。

一、 早年生活



19 世纪中叶的普鲁士，正处于工业革命的浪潮之中，科技的进步推动着社会各个领域的变革，也为数学的发展提供了新的机遇。柯尼斯堡，这座东普鲁士的重要城市，自古以来便是学术重镇，伟大的哲学家伊曼努尔·康德（Immanuel Kant）就曾在这里学习和任教。这里浓厚的学术氛围，为希尔伯特的成长提供了肥沃的土壤。

1862 年 1 月 23 日，大卫·希尔伯特就出生在柯尼斯堡附近的韦劳（Wehlau）。他的父亲，奥托·希尔伯特（Otto Hilbert），是一位受人尊敬的地方法官，以其严谨正直而闻名。在希尔伯特后来写给好友闵可夫斯基的信中，可以找到他对自己严格的教养方式的描述。他的母亲，玛丽亚·特蕾泽·埃尔德曼（Maria Therese Erdtmann），是一位商人的女儿，她对哲学、天文学，尤其是对素数问题有着浓厚的兴趣。正是母亲对智力活动的热爱，点燃了希尔伯特心中对数学的兴趣火花。在那个时代，女性接受高等教育的机会十分有限，但玛丽亚却凭借着自己的热情和努力，自学成才，成为了希尔伯特最早的数学启蒙老师。

希尔伯特的童年并非一帆风顺。与大多数孩子不同，他直到八岁才正式入学。这其中的原因已不可考，但据推测，很可能是因为他的母亲在家中对他进行了早期教育。这种独特的教育方式或许培养了希尔伯特独立思考的能力，为他日后的学术道路奠定了基础。

二、 教育经历

希尔伯特十岁那年，进入了柯尼斯堡著名的弗里德里希学院体育馆（Friedrichskolleg Gymnasium）学习。这所学校有着悠久的历史和严谨的学风，以培养学术精英而著称。然而，这所学校的教学模式却更侧重于古典语言的学习，拉丁语和希腊语是课程的重中之重，而数学和自然科学则被边缘化了。希尔伯特需要花费大量时间背诵经典文本，但他却并不擅长于此。这种刻板的教育方式让希尔伯特感到压抑和不满，他的数学天赋也无法得到充分的发挥。在后来的回忆中，希尔伯特甚至用“迟钝而愚蠢”来形容自己在弗里德里希学院体育馆的那段时光。

幸运的是，在希尔伯特高中学习的最后一年，他转学到了更注重数学和科学教育的威廉体育馆（Wilhelm Gymnasium）。在这里，希尔伯特如鱼得水，他的数学才能终于得到了施展的空间。他的数学老师赫尔曼·冯·莫尔斯坦（Hermann von Morstein）敏锐地发现了希尔伯特的数学天赋，并对他进行了悉心的指导。在莫尔斯坦的鼓励下，希尔伯特开始独立思考，并尝试用自己的方法解决数学问题。他在所有科目上的表现都显著提高，并在毕业时获得了数学的最高分。莫尔斯坦老师在给他的推荐信中写道：“希尔伯特对数学有着全面的了解，并能够运用自己的方法解决问题。” 这句话精准地预言了希尔伯特未来的学术道路。

1880 年，希尔伯特考入柯尼斯堡大学，正式开始了他在数学领域的求学生涯。他选择了留在自己的家乡，这在当时的德国大学生中并不常见，因为他们通常会游学多个大学。柯尼斯堡大学在当时已经是一所颇具声望的学府，伟大的哲学家康德就曾在这里长期执教，而 19 世纪上半叶，数学家卡尔·雅可比（Carl Gustav Jacob Jacobi）的学术活动更是将柯尼斯堡大学的数学系推向了辉煌。希尔伯特入学时，著名的数论学家海因里希·韦伯（Heinrich Weber）正在此任教，他与理查德·戴德金（Richard Dedekind）合作研究代数函数理论，在数学界享有盛誉。虽然韦伯不久后便离开了柯尼斯堡，但他的学术影响无疑为希尔伯特日后的研究方向埋下了伏笔。

在柯尼斯堡大学，希尔伯特师从斐迪南·冯·林德曼（Ferdinand von Lindemann）。林德曼因在 1882 年证明了  π  的超越性而名声大噪，这一成果解决了困扰数学界千年的“化圆为方”问题。在林德曼的指导下，希尔伯特选择了不变式理论作为他的研究方向，并在 1885 年完成了题为《关于特殊二元形式的不变性质，特别是球函数》的博士论文。这篇论文展现了希尔伯特出色的数学才能和深厚的理论功底，他不仅掌握了当时最前沿的数学知识，还能够创造性地运用这些知识来解决问题。值得一提的是，当时比希尔伯特小两岁但早一个学期入学的赫尔曼·闵可夫斯基（Hermann Minkowski）在阅读了希尔伯特的论文后，对他的才华赞叹不已，他在给希尔伯特的信中写道：“我带着极大的兴趣研究了你的著作，并为那些可怜的不变量不得不经历的所有过程感到高兴。我无法想象在柯尼斯堡能产生如此优秀的数学定理。” 这位后来在物理学领域也颇有建树的天才数学家，与希尔伯特结下了深厚的友谊，并在学术上相互促进，共同进步。

1884 年，另一位重要的数学家阿道夫·赫维茨（Adolf Hurwitz）来到柯尼斯堡大学担任副教授。赫维茨比希尔伯特年长三岁，但已经是一位成熟的数学家。希尔伯特、闵可夫斯基和赫维茨三人经常一起散步讨论数学问题，这种亲密的学术交流对希尔伯特的成长产生了至关重要的作用。希尔伯特在他的纪念文章中深情地回忆了这段时光，并称赫维茨是他们三人中的“领路人”。

在柯尼斯堡求学期间，希尔伯特也深受利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker）的影响。尽管克罗内克身在柏林，但他的学术思想在当时的德国数学界具有很大的影响力。克罗内克主张数学的算术化和构造性，反对康托尔（Georg Cantor）的集合论，这与希尔伯特后来的数学哲学思想产生了深刻的共鸣。

三、 工作与生活：哥廷根的辉煌与时代的阴霾

博士毕业后，希尔伯特曾在莱比锡大学和巴黎短暂访问学习，并于 1886 年回到柯尼斯堡大学担任讲师，开始了他的学术生涯。他在柯尼斯堡大学工作了九年，先后担任讲师、副教授和教授。在此期间，他继续深入研究不变式理论，并取得了重大突破。

1888 年，希尔伯特利用一种全新的抽象方法，证明了对于任意多个变量的有限基定理。这一成果极大地简化了前人的工作，并为代数学的发展开辟了新的方向。然而，由于希尔伯特的方法过于抽象，当时的一些数学家难以理解和接受。保罗·戈尔丹（Paul Gordan）作为《数学年刊》不变式理论的审稿专家，甚至将希尔伯特的证明斥为“神学”。面对质疑，希尔伯特毫不退缩，他坚定地捍卫自己的方法，并最终说服了菲利克斯·克莱因（Felix Klein）在没有任何修改的情况下发表了他的论文。这一事件不仅展现了希尔伯特的学术勇气，也标志着数学研究从具体计算向抽象理论的转变。

在柯尼斯堡期间，希尔伯特还开始关注数论领域。1893 年，德国数学学会委托希尔伯特和闵可夫斯基撰写一份关于数论的报告。尽管闵可夫斯基中途退出，但希尔伯特独自完成了这项艰巨的任务，并于 1897 年发表了著名的《数论报告》（Zahlbericht）。这部著作不仅是对当时数论研究成果的全面总结，更是对未来数论发展方向的深刻预见。希尔伯特在报告中系统地阐述了代数数论的基本理论，并提出了许多新的概念和方法，为类域论的诞生奠定了基础。他将高斯的二次互反律推广到更一般的形式，并引入了如今被称为希尔伯特符号的概念。为了确保互反律的简洁性，希尔伯特甚至引入了“无穷素点”的概念，这在当时是一个相当大胆的创新。这些思想深刻地影响了后来的数学家，如高木贞治（Teiji Takagi）、埃米尔·阿廷（Emil Artin）等人，最终导致了类域论的建立。

1892 年，希尔伯特与凯特·耶罗施（Kathe Jerosch）结婚。凯特是一位来自柯尼斯堡商人之家的独立女性，她的思想和个性与希尔伯特相得益彰。次年，他们的儿子弗朗茨·希尔伯特（Franz Hilbert）出生。然而，弗朗茨一生的成长道路上却饱受精神疾病的折磨，这也给希尔伯特的家庭生活带来了一丝阴霾。

1895 年，在菲利克斯·克莱因（Felix Klein）的极力推荐下，希尔伯特来到了哥廷根大学，接替海因里希·韦伯（Heinrich Weber）担任数学教授。哥廷根大学在当时已经是世界数学的中心之一，高斯（Carl Friedrich Gauss）、黎曼（Bernhard Riemann）等数学巨匠都曾在这里留下光辉的足迹。希尔伯特的到来，为哥廷根大学注入了新的活力，并将其推向了另一个高峰。

在哥廷根，希尔伯特迅速建立起了一个以他为核心的数学学派，吸引了来自世界各地的优秀青年数学家。他开设了各种主题的课程和讨论班，内容涵盖了几何、数论、分析、物理等多个领域。他鼓励学生独立思考，勇于创新，并积极与他们进行学术交流。在希尔伯特的培养下，哥廷根涌现出了一大批杰出的数学家，其中包括赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）、埃米·诺特（Emmy Noether）、理查德·库朗（Richard Courant）、威廉·阿克曼（Wilhelm Ackermann）、高木贞治（Teiji Takagi）、爱德华·卡斯纳 (Edward Kasner)、约翰·冯·诺伊曼 (John von Neumann) 等。值得一提的是，希尔伯特非常欣赏埃米·诺特的才华，并为她争取在哥廷根任教的权利。在那个女性在学术界备受歧视的年代，希尔伯特为诺特争取女性的学术权利奔走呼号。当有反对者质疑女性的任职资格时，希尔伯特坚定地反驳道：“毕竟，参议院不是澡堂！”这句名言，既体现了希尔伯特的幽默，也展现了他对学术平等和自由的坚定信念。

1902 年，希尔伯特利用柏林大学向他抛出橄榄枝的机会，成功地为他的好友闵可夫斯基在哥廷根争取到了一个教授职位。两位挚友得以在哥廷根重聚，继续他们的数学之旅。他们经常一起散步，讨论数学问题，这种亲密的学术交流对两人的研究都产生了积极的影响。然而，这段美好的时光却未能持续太久。1909 年，闵可夫斯基因病英年早逝，这给希尔伯特带来了沉重的打击。在闵可夫斯基的纪念文章中，希尔伯特深情地回忆了他们之间的友谊和学术合作，并将其比作“鲜花盛开的花园”。

除了繁忙的教学和科研工作，希尔伯特还积极参与社会活动。他关注时事政治，并持自由主义的政治立场。在第一次世界大战期间，他拒绝签署支持战争的宣言，并在战后发表了悼念法国数学家达布（Darboux）的文章，展现了他超越国界的学术精神和对和平的向往。

然而，随着纳粹势力在德国的崛起，哥廷根的学术环境遭到了严重的破坏。许多犹太裔学者被迫离开哥廷根，其中包括希尔伯特的一些学生和同事。希尔伯特虽然选择了留下，但他对纳粹的暴行深恶痛绝。他曾经的一位学生回忆说，有一次在宴会上，纳粹教育部长问希尔伯特：“数学研究所是否真的因为犹太人的离开而遭受了如此大的损失？”希尔伯特回答说：“遭受了损失？它已经不存在了，不是吗？” 这句话既是对当时哥廷根数学研究所现状的真实写照，也是对纳粹统治下学术自由遭到践踏的无声抗议。

1930 年，希尔伯特从哥廷根大学退休，但他仍然活跃在数学界，并继续关注着数学基础问题。1942 年初，他在哥廷根散步时不慎摔倒，导致手臂骨折。这次意外严重影响了他的健康，使他完全无法参与学术活动。1943 年 2 月 14 日，这位伟大的数学家在哥廷根溘然长逝，享年 81 岁。由于战争和政治局势的影响，他的葬礼只有不到十几个人参加，其中只有两位是他的学术同僚。

希尔伯特去世后，他的遗体被安葬在哥廷根。在他的墓碑上，镌刻着他那句激励了无数后人的名言：“Wir müssen wissen, wir werden wissen.”（我们必须知道，我们必将知道。）这句话，既是他对数学真理的坚定信念，也是他对人类理性力量的无限信心。

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四、 学术贡献

大卫·希尔伯特是一位百科全书式的数学家，他的研究领域涵盖了数学的多个分支，并对这些领域的发展产生了深远的影响。以下将详细介绍他在几个主要领域的学术贡献：

1. 不变式理论

希尔伯特在数学领域的第一个重要贡献是不变式理论。19 世纪后期，不变式理论的研究主要集中在对具体的不变式进行计算和分类。然而，这种方法存在很大的局限性，难以处理更复杂的情况。希尔伯特以其敏锐的洞察力，意识到需要一种全新的方法来研究不变式。

1888 年，他提出了著名的“希尔伯特基定理”，该定理断言：对于任意多个变量的多项式环中的任何理想，都存在一个有限的生成元集合，即有限基。这个定理的证明极具革命性，它没有像前人那样试图构造出具体的基，而是采用了抽象的存在性证明。这意味着，希尔伯特并非通过繁复的计算来寻找基，而是直接证明了它们的存在。这种方法在当时遭到了保罗·戈尔丹（Paul Gordan）等人的质疑，戈尔丹甚至将其斥为“神学”。然而，希尔伯特坚持自己的观点，并最终说服了菲利克斯·克莱因（Felix Klein）在《数学年刊》上发表了他的论文。



希尔伯特基定理的重要性在于，它将不变式的研究从具体的计算中解放出来，并将其提升到了一个更抽象、更一般的层次。它不仅为不变式理论本身的发展开辟了新的道路，也为代数几何、交换代数等领域的研究提供了重要的工具。例如，在代数几何中，希尔伯特基定理可以用来证明代数簇的任何子簇都可以由有限个多项式方程定义。

2. 代数数论

1893 年，希尔伯特受德国数学学会的委托，开始撰写关于代数数论的报告。经过四年的辛勤工作，他于 1897 年完成了这部巨著，即著名的《数论报告》（Zahlbericht）。这部著作不仅是对当时数论研究成果的全面总结，更是对未来数论发展方向的深刻预见。

在《数论报告》中，希尔伯特首先系统地整理和发展了已有的理论。他以清晰的逻辑和统一的视角，将高斯（Carl Friedrich Gauss）、库默尔（Ernst Eduard Kummer）、戴德金（Richard Dedekind）和克罗内克（Leopold Kronecker）等人的工作融会贯通，形成了一个更加完善和系统的理论框架。他特别关注二次域、分圆域以及一般的伽罗瓦域（Galois fields）。

然而，希尔伯特并未止步于此。他以其敏锐的洞察力，预见到了代数数论未来发展的方向，并提出了一系列重要的概念和猜想，为类域论（Class Field Theory）的诞生奠定了基础。类域论是代数数论的核心理论之一，它主要研究数域的阿贝尔扩张与该数域的理想类群之间的关系。



希尔伯特的这些工作，极大地推动了代数数论的发展。尽管他本人并没有完全证明他提出的所有猜想，但他所引入的概念和方法，为后来的数学家们指明了方向。例如，高木贞治（Teiji Takagi）在20世纪初证明了希尔伯特关于类域存在的主要定理，而埃米尔·阿廷（Emil Artin）则发现了著名的阿廷互反律（Artin Reciprocity Law），将希尔伯特的互反律与伽罗瓦群的表示理论联系了起来。

值得一提的是，希尔伯特在《数论报告》中大量使用了“直接”的证明方法，即避免使用复杂的计算，而是通过巧妙的逻辑推理来得出结论。这种风格与他早期在不变式理论中的工作一脉相承，也体现了希尔伯特对数学简洁性和统一性的追求。

3. 几何基础

1899年，希尔伯特出版了他的另一部传世之作——《几何基础》（Grundlagen der Geometrie）。这部著作对几何学的影响，可以与欧几里得的《几何原本》相媲美。在书中，希尔伯特以严谨的公理化方法，重新构建了几何学的理论体系，为现代几何学的发展奠定了坚实的基础。

与欧几里得的公理系统不同，希尔伯特的公理系统更加抽象和形式化。他将“点”、“线”、“面”等几何概念视为未定义的概念，并通过公理来规定它们之间的关系。这种方法避免了对几何对象的直观依赖，使得几何学成为一门纯粹的逻辑演绎体系。希尔伯特的公理系统主要包括五组公理：

● 关联公理（Incidence Axioms）： 描述点、线、面之间的关联关系，例如“两点确定一条直线”。

● 顺序公理（Order Axioms）： 描述点在直线上的顺序关系，例如“介于”关系。

● 合同公理（Congruence Axioms）： 描述线段和角的合同关系，即“相等”关系。

● 平行公理（Parallel Axiom）： 著名的欧几里得第五公设，即“过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行”。

● 连续性公理（Continuity Axioms）： 包括阿基米德公理和完备性公理。

希尔伯特不仅提出了一个完备的几何公理体系，还深入研究了这些公理之间的逻辑关系。他通过构造模型的方法，证明了某些公理的独立性，例如平行公理的独立性。这意味着，我们可以构造出满足其他所有公理，但不满足平行公理的几何体系，即非欧几里得几何。希尔伯特的这项工作，为非欧几何的合法性提供了坚实的逻辑基础。

在《几何基础》中，希尔伯特还提出了著名的“段演算”（Streckenrechnung）。通过在直线上定义加法和乘法运算，他构建了一个与实数域同构的有序域。这个构造表明，几何学可以建立在代数结构之上，从而为解析几何提供了另一种基础。
值得一提的是，希尔伯特还讨论了非阿基米德几何和非德萨格几何。非阿基米德几何指的是不满足阿基米德公理的几何体系，而非德萨格几何则指的是不满足德萨格定理的几何体系。这些几何体系的存在，进一步证明了几何公理的独立性和多样性。

希尔伯特在《几何基础》中对连续性的处理也颇具特色。他引入了阿基米德公理和完备性公理来刻画几何的连续性。阿基米德公理保证了线段的可度量性，而完备性公理则保证了几何空间的“完备性”，即不存在“空隙”。

《几何基础》的出版，标志着几何学进入了一个新的时代。它不仅为几何学提供了一个严谨的逻辑基础，也为数学的公理化方法树立了典范。希尔伯特的工作，极大地推动了数学的形式化进程，对 20 世纪数学的发展产生了深远的影响。

4. 分析学

希尔伯特在分析学领域也做出了重要贡献，他的工作主要集中在积分方程、变分法和狄利克雷原理等方面。

● 积分方程： 希尔伯特对积分方程的研究，特别是他对第二类弗雷德霍姆积分方程（Fredholm integral equation of the second kind）的研究，极大地推动了泛函分析的发展。他将积分方程问题转化为无限维空间中的二次型问题，并引入了“希尔伯特空间”的概念。希尔伯特空间是一个完备的内积空间，它可以是有限维的，也可以是无限维的。在希尔伯特空间中，函数可以被看作是“向量”，而积分算子则可以被看作是“矩阵”。通过这种类比，希尔伯特将有限维线性代数中的许多概念和方法推广到了无限维的情形，例如特征值、特征向量、谱分解等。



希尔伯特的工作，为积分方程理论奠定了坚实的基础，并为量子力学等物理学领域提供了重要的数学工具。例如，在量子力学中，粒子的状态可以用希尔伯特空间中的一个向量来表示，而物理量的观测则对应于希尔伯特空间中的一个自伴算子。

●  变分法： 希尔伯特对变分法也做出了重要贡献。他在 1900 年国际数学家大会上提出的 23 个问题中，第 19 、20 和 23 个问题都与变分法有关。他提出了著名的“独立性定理”（Unabhangigkeitsatz），该定理为变分问题提供了新的视角。此外，他还对狄利克雷原理进行了严格的论证，为这一原理的广泛应用奠定了基础。

●  狄利克雷原理： 狄利克雷原理断言，在所有具有相同边界值的函数中，使狄利克雷积分取最小值的函数就是调和函数，即满足拉普拉斯方程  Δu = 0 的函数。这个原理在数学物理中有着广泛的应用，例如在静电学中，它可以用来求解给定边界条件下的电势分布。然而，狄利克雷原理的证明在 19 世纪后期受到了魏尔斯特拉斯（Karl Weierstrass）等人的质疑。希尔伯特通过构造性的方法，严格证明了狄利克雷原理的正确性，从而“拯救”了这个重要的原理。

5. 数学物理

希尔伯特对数学物理也有着浓厚的兴趣，他认为数学的严谨性可以为物理学提供更坚实的基础。他将积分方程理论应用于气体动力学和辐射理论，并对麦克斯韦-玻尔兹曼方程（Maxwell-Boltzmann equation）进行了深入研究。

1915 年，希尔伯特开始关注爱因斯坦的广义相对论。他邀请爱因斯坦到哥廷根进行了一系列的讲座，并与爱因斯坦展开了激烈的学术交流。几乎与此同时，希尔伯特和爱因斯坦独立地推导出了广义相对论的引力场方程。

关于“谁先发现引力场方程”这个问题，历史上曾经存在一些争议。根据现有的文献资料，爱因斯坦在 1915 年 11 月 25 日向普鲁士科学院提交了他的最终论文，其中包含了正确的引力场方程。而希尔伯特在 11 月 20 日向哥廷根皇家科学学会提交了一篇题为“物理学基础”的论文，其中也包含了一个引力场方程。然而，希尔伯特的论文在 1916 年 3 月正式发表之前进行了修改。

对希尔伯特论文原始版本和最终版本进行比较后发现，原始版本中的引力场方程与爱因斯坦的方程并不完全等价。希尔伯特在收到爱因斯坦的论文预印本后，对自己的论文进行了修改，使其与爱因斯坦的理论一致。因此，学术界普遍认为，爱因斯坦是第一个提出正确的广义相对论引力场方程的人。

尽管如此，希尔伯特在广义相对论方面的工作仍然具有重要的意义。他采用的变分原理方法，为广义相对论的研究提供了新的视角。此外，他对能量守恒定律的研究，也为广义相对论的进一步发展做出了贡献。

希尔伯特和爱因斯坦在研究方法和关注点上存在一些差异。希尔伯特更倾向于采用公理化的方法，并试图将引力理论与当时已知的物理学理论（如麦克斯韦电磁理论）统一起来。而爱因斯坦则更注重物理直觉和实验验证，他的研究目标是建立一个能够描述引力现象的自洽的理论。

6. 数学基础与证明论

在希尔伯特学术生涯的后期，他将注意力转向了数学基础问题。他提出了著名的“希尔伯特纲领”，旨在为整个数学建立一个完备且一致的形式化公理系统。

希尔伯特纲领的核心思想是，将数学推理过程形式化为符号演算，并通过有限的、无矛盾的公理系统来描述数学对象和它们之间的关系。他希望通过这种方式，能够证明数学的一致性，即证明在数学系统中不可能推导出矛盾的结论。

为了实现这一目标，希尔伯特引入了“理想元素”的概念。他认为，尽管有些数学对象（例如无穷集合）在现实世界中并不存在，但它们在数学推理中却起着重要的作用。通过将这些理想元素纳入形式系统，并证明该系统的有限一致性，就可以为整个数学提供一个坚实的基础。

希尔伯特与布劳威尔（L. E. J. Brouwer）的直觉主义学派产生了激烈的争论。布劳威尔反对在数学中使用排中律，并主张数学对象必须是可构造的。希尔伯特则坚决捍卫经典数学的立场，认为排中律是数学推理中不可或缺的工具。

1931 年，哥德尔（Kurt Godel）发表了他的著名的不完备性定理，这对希尔伯特纲领造成了沉重的打击。哥德尔第一不完备性定理指出，任何一个包含初等数论的形式系统，如果是一致的，那么它必定是不完备的，即存在一些命题在该系统中既不能被证明也不能被证伪。哥德尔第二不完备性定理则进一步指出，任何一个包含初等数论的形式系统，都无法在该系统内部证明自身的一致性。

哥德尔不完备性定理表明，希尔伯特纲领的最初目标是不可能实现的。我们无法建立一个既完备又一致的形式系统来囊括所有的数学真理。这一发现对数学基础研究产生了深远的影响，并引发了数学家们对数学的本质和数学知识的可靠性等问题的深入思考。

尽管希尔伯特纲领未能完全实现，但它仍然具有重要的意义。它推动了数理逻辑和证明论的发展，并为计算机科学的诞生奠定了基础。在希尔伯特纲领的指引下，根岑（Gerhard Gentzen）、阿克曼（Wilhelm Ackermann）等人对证明论进行了深入的研究，并取得了一系列重要的成果。例如，根岑发展了自然 deduction 系统和相继式演算（sequent calculus），并利用超限归纳法证明了算术系统的一致性。阿克曼则对希尔伯特的 ε 演算进行了改进，并利用它证明了算术系统的一致性。

五、 荣誉和影响

大卫·希尔伯特一生获得了无数的荣誉，这些荣誉彰显了他在数学界的崇高地位以及他对科学发展做出的巨大贡献：
匈牙利科学院的特别表彰： 早年即获得国际学术界的认可。

● 1910 年获得博尔约奖（Bolyai Prize）： 这是当时数学领域的最高奖项之一，表彰他在数学方面的杰出贡献。

● 1928 年当选为英国皇家学会外籍会员： 英国皇家学会是世界上最古老、最负盛名的科学学会之一，当选为其外籍会员是对希尔伯特学术成就的极高肯定。

● 1930 年被授予柯尼斯堡荣誉市民称号： 这是对他出生地的最高荣誉。

● 1939 年获得瑞典科学院的米塔-列夫勒奖（Mittag-Leffler Prize）： 与法国数学家埃米尔·皮卡（Emile Picard）共同获得该奖项，表彰他们在数学分析领域的贡献。

● 月球上的希尔伯特环形山以他的名字命名： 这是对他为科学做出贡献的永久纪念。

希尔伯特的学术影响是深远而持久的。他的工作不仅推动了数学多个分支领域的发展，也为现代数学的许多重要概念和方法奠定了基础：

● 代数几何： 希尔伯特基定理和零点定理是代数几何的基石，为代数簇的研究提供了重要的工具。

● 类域论： 希尔伯特的《数论报告》为类域论的发展指明了方向，并激发了后来的数学家们对这一领域进行了深入的研究。

● 泛函分析： 希尔伯特空间的概念已成为泛函分析的核心，并在量子力学、信号处理等领域有着广泛的应用。

● 数学物理： 希尔伯特在广义相对论和量子力学中的工作，对现代物理学产生了重要的影响。

● 数理逻辑： 希尔伯特纲领虽然未能完全实现，但它极大地推动了数理逻辑和证明论的发展，并为计算机科学的诞生奠定了基础。

除了在学术上的巨大贡献，希尔伯特还培养了一大批杰出的数学家，其中包括赫尔曼·外尔、埃米·诺特、理查德·库朗、威廉·阿克曼、高木贞治、爱德华·卡斯纳和约翰·冯·诺伊曼等。这些学生继承了希尔伯特的学术精神，并在各自的领域做出了重要的贡献，进一步推动了数学的发展。

六、 后世评价

大卫·希尔伯特被公认为 20 世纪最伟大的数学家之一，他对数学的贡献以及他的人格魅力都得到了后世的高度评价。

赫尔曼·外尔（Hermann Weyl）作为希尔伯特的学生和同事，对他有着深刻的了解。外尔曾在多个场合表达了对希尔伯特的敬仰之情，他这样评价希尔伯特：“没有哪位数学家具有与他同等重要的地位。”“希尔伯特是我们这个时代最伟大的数学家之一。” 在希尔伯特去世后，外尔撰写了长篇悼文《大卫·希尔伯特和他的数学工作》，发表在《美国数学会通报》上，这篇文章至今仍是研究希尔伯特的重要文献。

奥托·布卢门撒尔（Otto Blumenthal）是希尔伯特的第一个博士生，他对希尔伯特的数学才能有着独到的见解：“在分析数学才能时，人们必须区分创造新概念以产生新型思维结构的能力和感知更深层联系和基本统一性的天赋。就希尔伯特而言，他的伟大之处在于一种极其强大的洞察力，能够深入问题的本质。” 他还强调了希尔伯特的远见卓识，指出许多看似无关的领域在希尔伯特的统筹下展现出内在的联系，并最终形成一个有机的整体。

除了这些来自他学生和同事的直接评价，希尔伯特的影响力还体现在他所开创的数学领域以及以他名字命名的众多概念和定理上：

● 希尔伯特空间 (Hilbert Space)： 泛函分析的核心概念，在量子力学、信号处理等领域有广泛应用。

● 希尔伯特基定理 (Hilbert's Basis Theorem)： 代数几何和交换代数的基石。

● 希尔伯特零点定理 (Hilbert's Nullstellensatz)： 代数几何的基本定理之一。

● 希尔伯特-施密特算子 (Hilbert-Schmidt Operator)： 泛函分析中的重要概念。

● 希尔伯特矩阵 (Hilbert Matrix)： 一种特殊的矩阵，在数值分析和逼近论中有应用。

● 希尔伯特曲线 (Hilbert Curve)： 一种连续的空间填充曲线，在计算机图形学和图像处理中有应用。

● 希尔伯特符号 (Hilbert Symbol)： 类域论中的重要工具。

● 希尔伯特类域（Hilbert Class Field)：代数数论中的一个重要概念。

这些以希尔伯特名字命名的概念和定理，不仅见证了他在数学各个领域的开创性贡献，也体现了他在数学史上的崇高地位。

此外，还有许多以希尔伯特的名字命名的奖项和研究机构，例如德国数学学会设立的“大卫·希尔伯特奖”，以及哥廷根大学的希尔伯特中心，这些都彰显了希尔伯特对数学界的持久影响。

七、 结语

大卫·希尔伯特的一生，是奉献给数学的一生。他以其超凡的智慧、不懈的探索和深邃的思想，为数学这座宏伟大厦奠定了坚实的基础，并指引了数学未来发展的方向。他那句镌刻在墓碑上的名言——“Wir müssen wissen, wir werden wissen.”（我们必须知道，我们必将知道。）——不仅是他个人信念的写照，更是对所有从事科学探索的人们的激励。在今天，在他诞辰 163 周年之际，我们缅怀这位数学巨匠，不仅是为了纪念他的过去，更是为了激励我们继续前行，去探索更加广阔的数学宇宙，去实现他那永恒的箴言：我们必须知道，我们必将知道！

八、 互动与思考

希尔伯特的 23 个问题中，还有一些至今尚未完全解决。例如，与素数分布密切相关的黎曼猜想，它至今仍是数学中最大的未解之谜之一。您认为黎曼猜想有可能在未来被证明或证伪吗？如果黎曼猜想被证明，将对数学和科学产生怎样的影响？这个问题，没有标准答案，却值得每一位热爱数学的人去思考。或许，下一个百年诞辰的纪念，这个问题的答案就将揭晓。而这，也正是希尔伯特留给我们的宝贵遗产——永不停息的探索精神，以及对数学未来的无限憧憬。

个人观点，仅供参考

修改于 2025 年 01 月 23 日

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