一个好用的无穷乘积计算公式

luyuanhong

一个好用的无穷乘积计算公式

原创 sinarcsin 形貌 2025 年 01 月 16 日 22:34 四川

介绍一个用 Γ 函数表达的无穷乘积计算公式。假设数列 {ai},{bi} 满足以下恒等式:

a1+a2+…+ai+…+ak=b1+b2+…+bi+…+bk

则



其中 k 和 n 均为正整数。

用这个等式可以方便地计算由有理分式构成的无穷乘积。例如，



这个结论也可以用欧拉的基于一元无穷次方程的方法证明；把上式等号左边括号中的减号换成加号也行，只不过等号左边括号内的部分通分后分子需要在复数域内进行因式分解，即



其中 i 为虚单位，sinh 为双曲正弦函数。

类似的等式还有



有意思吧？

形貌