数学 101｜最美的公式！

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数学 101｜最美的公式！

原创 Wittt ECONOMICS RULES 2025 年 02 月 08 日 00:02 重庆



在数学史上哪个公式最美？即便是对美的理解多种多样，但人们在这个问题的看法上却罕见的一致，大家普遍认为这个问题的答案是著名的欧拉恒等式（Euler's identity）。

1990 年，《The Mathematical Intelligencer》 的一项读者投票将欧拉恒等式评为“数学中最美的定理”。在 2004 年《Physics World》的读者投票中，欧拉的恒等式与麦克斯韦方程组（电磁学）并列，成为“有史以来最伟大的方程”。

数学作家 Constance Reid 曾说过欧拉恒等式是“所有数学中最著名的公式”。19 世纪美国哲学家、数学家、哈佛大学教授 Benjamin Peirce 在一次演讲中证明了欧拉定理后，说它“绝对是出乎意料的；我们不能理解它，我们不知道它意味着什么，但我们已经证明了它，因此我们知道它一定是真理。”

这个恒等式如下：



有三种基本的算术运算各只发生一次：加法、乘法和求幂。恒等式还连接了五个基本的数学常数：

● 数字 0 ，无

● 数字 1 ，有

● 圆周率 π（π=3.14159…）

● 数字 e（e=2.71828…）

● 数字 i ，虚数单位（Imaginary number）

这个公式的推导很有趣。只需要在复数范围内使用泰勒级数（Taylor series）就可以轻松搞定。学过微积分的朋友都知道泰勒展开式（Taylor expansion），这个展开式不知道折磨了多少刚学微积分的同学。其实这个级数的思想很简单，就是用幂级数去拟合其他复杂的函数，因为幂级数简单又有很好的性质，适合进一步研究。

就像经济学家用经济学模型拟合现实世界一样，不过经济学家的模型拟合现实的效果远远不如幂函数拟合其他函数。幂函数对其他函数的拟合是无限的高阶拟合，几乎完美匹配，但经济学家的模型最多能做到一阶拟合。





这个问题其实以前有一篇文章已经提到了，但是最近学了这个输入公式的方法忍不住练练手。说实话，以前直接用 ppt 弄出来的公式是真的丑。

这么一个公式把最奇妙的一些常数聚到一起了，真的很不可思议，当我第一次看到时，不知道用什么语言来描述当时的感觉，恩，就是太完美了吧！只能说这是上帝的公式，而欧拉发现了它，Maybe 顶级的数学家如欧拉，如牛顿都是通过数学的桥梁和上帝沟通的吧。

Wittt