请看这些数论中未解决的问题，试做采撷数学王冠上珍珠的幸运儿

luyuanhong

请看这些数论中未解决的问题，试做采撷数学王冠上珍珠的幸运儿

原创 初等数论 科学出版社数学教育 2025 年 02 月 04 日 07:35 辽宁

下面，我们将列出数论中一些未解决的问题或猜想。 请带着您的思考，一起来看看吧。

（1）哥德巴赫猜想：每个不小于 4 的偶数总可以表示成两个素数之和。

如 4 = 2 + 2 ，6 = 3 + 3 ，8 = 3 + 5 ，10 = 3 + 7 ，12 = 5 + 7 等。

目前最好的结果是陈景润在 1966 年给出的，他证明了：每个充分大的偶数均可表示为一个素数与一个至多有两个素因子 (可相同) 的正整数之和。

（2）孪生素数猜想：存在无穷多对素数 p，q ，使得 q - p = 2。

如 3，5 ；5，7 ；11，13 ；17，19 ；29，31 等均为孪生素数对。

2013 年，张益唐在孪生素数猜想的研究方面取得突破性的进展，他证明了：存在无穷多对素数 p，q ，使得 q - p 不超过 7000 万。 同年，Maynard 用不同方法将 7000 万改进到 600 ，后来，其他数学家将 600 进一步改进到 246 。

（3） 猜想：存在无穷多个正整数 n，使得 n^2 + 1 为素数。如

2^2 + 1 = 5 ，4^2 + 1 = 17 ，6^2 + 1 = 37 ，10^2 + 1 = 101 等均为素数。

（4） Jesmanowicz 猜想：如果 a，b，c 为正整数，a^2+b^2 = c^2 ，那么 a^x+b^y = c^z 的正整数解只有 x = y = z = 2 。

可以证明：3^x + 4^y = 5^z 的正整数解只有 x = y = z = 2 ，5^x + 12^y = 13^z 的正整数解只有 x = y = z = 2 ，等等。

（5）奇完全数问题：是否存在正奇数，它是完全数？ 即是否存在正奇数，它的所有正因数之和是它的两倍？

偶完全数是有的，如 6 ，28 等，这里 1 + 2 + 3 + 6 = 2 × 6 ，1 + 2 + 4 + 7 + 14 + 28 = 2 × 28 。

（6）Erdos-Straus 猜想：对每个整数 n > 1 ，总存在正整数 x，y，z ，使得 4/n = 1/x + 1/y + 1/z 。
它等价于猜想：对每个素数 p > 1 ，总存在正整数 x，y，z ，使得 4/p = 1/ x + 1/ y + 1/ z 。

如 4/2 = 1/2 + 1/2 + 1/1 ，4/3 = 1/2 + 1/2 + 1/3 ，4/5 = 1/2 + 1/10 + 1/5 ，等等。

（7）问题：是否对每个整数 n ，总存在整数  x，y，z，w ，使得 n = x^3 + y^3 + z^3 + w^3 ？

如 5 = (-1)^3 + (-1)^3 + (-1)^3 + 2^3 ，6 = 0^3 + (-1)^3 + (-1)^3 + 2^3 ，等等。

（8） 猜想：对任何正整数 n，总存在素数 p ，使得  n^2 < p < (n + 1)^2 。

（9）3n+1 问题：对一个正整数不断进行如下操作。 当它为偶数时，我们就将它除以 2 ；当它为奇数时，我们就将它乘以 3 再加上 1 。 问：是否一定在有限步后变为 1 ？

如 5 → 3 × 5 + 1 = 16 → 8 → 4 → 2 → 1 ；7 → 22 → 11 → 34 → 17 → 52 → 26 → 13 → 40 → · · · → 5 → · · · → 1 。

（10）问题：是否存在合数 n ，使得 φ(n) | (n-1) ？ 其中 φ(n) 是 n 的欧拉函数值。

（本文选自陈永高教授《初等数论》，有删减）

初等数论

wangyangke

所谓的3n+1 问题，根本就是没有问题；












以m=4*2+3=11代入，验算过了，其敷衍结果对于4、8、16的同余形式不变。

ataorj

wang先生能给个链接吗？

wangyangke

关于（8） 猜想

（8） 猜想包含在定理——素数的间距可以趋于无穷大，素数可以是其间距的不定阶次的高阶无穷大；所说的不定阶次其阶次的本身也可以是无穷大。——中。证明在劣作对数函数介值式及其运用
   ，文章就在本论坛哥猜分坛；希翼师长指批、纠错或确切的否决。

ysr

（1）哥德巴赫猜想：每个不小于 4 的偶数总可以表示成两个素数之和。

如 4 = 2 + 2 ，6 = 3 + 3 ，8 = 3 + 5 ，10 = 3 + 7 ，12 = 5 + 7 等。

目前最好的结果是陈景润在 1966 年给出的，他证明了：每个充分大的偶数均可表示为一个素数与一个至多有两个素因子 (可相同) 的正整数之和。

证明：
哥德巴赫猜想并不难，有多种初等证明方法可以证明，哥德巴赫猜想是远远成立的。
1，由差定理（更容易证明）证明和定理（就是哥德巴赫猜想）成立。
2，设偶数2A的方根为M则其方根M内的素数的个数的下限是m=M/lnM，则偶数2A的哥德巴赫猜想解的个数的绝对下限就是m-1，这是对无穷大的偶数都成立的，随着偶数的增大实际解的个数远远大于m-1 ， 所以，哥德巴赫猜想远远成立。
3，据构成哥德巴赫猜想解的素数与偶数的方根的大小，把解分为两类：小根拆和大根拆，大于4的偶数，仅仅有73个偶数只有大根拆而不含有小根拆，其他的都是既有小根拆也有大根拆，而4=2+2.

所以，哥德巴赫猜想远远成立，容易证明，仅仅初等数学就可以证明，中学以上的学历都i可以完全解决。

至今不能解决的原因仅仅有两个：一是数学家喜欢本末倒置从解析数论下手解决问题，二是中国数学界到处是汉奸洋奴才等破环了中国数学界的学术氛围！！

加强筛（是过度筛选）连乘积结果(如何筛？我的书上有)是没有增根的（就是没有正向误差，就是没有大于实际的个数），如加强筛连乘积公式结果： 偶数2023022488888  其方根内最大素数1422293 方根内的素数个数m=108650 (方根为)1422329.95078076 有108649个区间，其中每个区间哥猜解素数对个数的平均值16016.1344207358  总对数为1740136988.67852方根内的解的个数理论最低值为1475.51865828173.偶数2023022488888的实际哥德巴赫猜想解个数为1792088879.  再如：加强筛连乘积公式结果： 偶数134560842621442  其方根内最大素数11600033 方根内的素数个数m=763458 (方根为)11600036.3198329 有763457个区间，其中每个区间哥猜解素数对个数的平均值117702.465586146 总对数为89860771269.0022方根内的解的个数为9123.10714950196。

连乘积加强筛结果只是接近于实际的下限解的个数，需要证明没有证明的只能是猜想，而我的绝对下限公式是严格证明的，远远低于实际的解的个数，是定理，是可以用于证明的，证明哥德巴赫猜想是远远成立的。
如：对于偶数134560842621442，用绝对下限公式计算的结果如下：
√( 134560842621442 ) =11,600,036.319832882316353474644975，
11600036 ÷ ln( 11600036 )-1 =713,123.45139681634548871490631364-1=713,122.45139681634548871490631364，
这是绝对下限，远远低于实际的，低于前面的加强筛（过度筛）连乘积结果，所以，哥德巴赫猜想远远成立。

ysr

（2）孪生素数猜想：存在无穷多对素数 p，q ，使得 q - p = 2。

如 3，5 ；5，7 ；11，13 ；17，19 ；29，31 等均为孪生素数对。

2013 年，张益唐在孪生素数猜想的研究方面取得突破性的进展，他证明了：存在无穷多对素数 p，q ，使得 q - p 不超过 7000 万。 同年，Maynard 用不同方法将 7000 万改进到 600 ，后来，其他数学家将 600 进一步改进到 246 。

证明：
下面来证明孪生素数有无穷多：
证明方法一：
证明： 请看如下两个数列：
2n+1: 3，5，7，……，
2n+3: 5，7，9，……，
对应项差为 2，若对应项均为素数则为孪生素数对。比如 3 和 5,5 和 7，……。
由于这是两个奇数数列，所以，素因子都是大于等于 3 的，且 相邻素因子的差存在无
穷多大于 2 的差。
正是由于这两条原因，孪生素数对就是无穷多的.
(我们可以得到多种差为 2 的不同数列如等差数列或抛物线数列等，如果不同的数列算
不同种证明方法，则证明方法几乎是无穷的)
这个简述不明白的话，再详述一点如下：（是奇数数列含有全体奇素数不重复证明了）

&#160; &#160;&#160;&#160;每个数列都含有无穷素数，这个证明除了用前面的欧几里得反证法外，还有其他证明。
(啥是相邻素因子呢？相邻素数指全体素数中的相邻的素数，中间没有其它素数的两个素数，
而相邻素因子不一定包含全体素数的，可能只是部分素数，这两个数列中包含了除了 2 以
外的全体素数，所以这里的素因子等于全体大于 2 的素数，而后面用的抛物线数列中的素
因子不是全体素数，缺少很多，所以这里必须用相邻素因子，二者概念不同)
这两个数列包含了全体奇素数，所以，无需再证明，其中的素数都是无穷多的。此法不
仅能证明素数有无穷多，还证明了素数是越来越稀的。由于有节拍错位，必然有不同的素因
子重复占位，这样就节约位置产生的素数多，此处素数稠密，故还能证明素数不仅仅是越来
越稀，还有稠密和稀疏相间的分布特点。
素数对产生的原因也仅以下两条:
1，两个数列中的素因子必须大于 2，都是奇数，这个满足。
2，由于两数列中相同的素因子在同一个周期内最多可占对应项的 2 个位置，故相邻素
因子的差必须≥4，偶尔有等于 2 的不影响结果，这条也满足。
这个充分条件就是个定理，定理：前两个数列中只要出现大于 2 的相邻素数对的差（或
者说是相邻素因子的差）就必然产生孪生素数对。（产生 2 生素数对即差为 2m 的素数对的
充分条件也是这个，就是只要存在大于等于 4 的相邻素数对就必然产生）
证明：前面两个数列中，若相邻素数 p2-p1>=4,则在 p2 的下一个周期由于节拍错位，
必有至少一对素因子重复占位，如 3p2,就是 3 和 p2 重复占位了。则比前一个周期多出一个
空缺位置，就是素数对的位置，则必然产生至少一对孪生素数对，因为一个素因子最多占两
个位置。如 11-7=4>2，在 11 的下一个周期的 33 就是 3 和 11 重复占位了，次位的 31 和对
应项 29 构成孪生素数对。而 17-13=4，也大于 2 了，在 17 的下一个周期最大的数是 3*17=51，
在这个周期内有 43，41 一对，与 51 是不接近不是次一位，而 13 和 11 不在这个周期，因为
是从 19 开始到 51 结束的。而 19 和 17 又是一对孪生素数对。为啥素数 p2 的下一个周期最
大的必然是 3p2 呢？这个容易理解，因为素因子第一次出现的时候是素数，后面出现的就是
其倍数，倍数是从低到高出现的，奇数数列中去掉了偶数，所以没有 2 倍数了，所以下一次
就必然是 3 倍数，所以必然是 3p2。3 和 p2 必然是重复占位，就是占了同一个位置，节约了
一个位置，就是产生一对孪生素数对是必然的，因为空缺位置不能被前面的素因子占位，且
是对应项都不能被占位了，必然是素数对位置。这就是定理，这就是充分条件，证毕！
由于，素数越来越稀，大于等于 4 的相邻素数的差有无穷多，所以，孪生素数对无穷
多。
下面来证明孪生素数有无穷多：
证明方法一：
证明： 请看如下两个数列：
2n+1: 3，5，7，……，
2n+3: 5，7，9，……，
对应项差为 2，若对应项均为素数则为孪生素数对。比如 3 和 5,5 和 7，……。
由于这是两个奇数数列，所以，素因子都是大于等于 3 的，且 相邻素因子的差存在无
穷多大于 2 的差。
正是由于这两条原因，孪生素数对就是无穷多的.
(我们可以得到多种差为 2 的不同数列如等差数列或抛物线数列等，如果不同的数列算
不同种证明方法，则证明方法几乎是无穷的)
这个简述不明白的话，再详述一点如下：（是奇数数列含有全体奇素数不重复证明了）

&#160; &#160;&#160;&#160;每个数列都含有无穷素数，这个证明除了用前面的欧几里得反证法外，还有其他证明。
(啥是相邻素因子呢？相邻素数指全体素数中的相邻的素数，中间没有其它素数的两个素数，
而相邻素因子不一定包含全体素数的，可能只是部分素数，这两个数列中包含了除了 2 以
外的全体素数，所以这里的素因子等于全体大于 2 的素数，而后面用的抛物线数列中的素
因子不是全体素数，缺少很多，所以这里必须用相邻素因子，二者概念不同)
这两个数列包含了全体奇素数，所以，无需再证明，其中的素数都是无穷多的。此法不
仅能证明素数有无穷多，还证明了素数是越来越稀的。由于有节拍错位，必然有不同的素因
子重复占位，这样就节约位置产生的素数多，此处素数稠密，故还能证明素数不仅仅是越来
越稀，还有稠密和稀疏相间的分布特点。
素数对产生的原因也仅以下两条:
1，两个数列中的素因子必须大于 2，都是奇数，这个满足。
2，由于两数列中相同的素因子在同一个周期内最多可占对应项的 2 个位置，故相邻素
因子的差必须≥4，偶尔有等于 2 的不影响结果，这条也满足。
这个充分条件就是个定理，定理：前两个数列中只要出现大于 2 的相邻素数对的差（或
者说是相邻素因子的差）就必然产生孪生素数对。（产生 2 生素数对即差为 2m 的素数对的
充分条件也是这个，就是只要存在大于等于 4 的相邻素数对就必然产生）
证明：前面两个数列中，若相邻素数 p2-p1>=4,则在 p2 的下一个周期由于节拍错位，
必有至少一对素因子重复占位，如 3p2,就是 3 和 p2 重复占位了。则比前一个周期多出一个
空缺位置，就是素数对的位置，则必然产生至少一对孪生素数对，因为一个素因子最多占两
个位置。如 11-7=4>2，在 11 的下一个周期的 33 就是 3 和 11 重复占位了，次位的 31 和对
应项 29 构成孪生素数对。而 17-13=4，也大于 2 了，在 17 的下一个周期最大的数是 3*17=51，
在这个周期内有 43，41 一对，与 51 是不接近不是次一位，而 13 和 11 不在这个周期，因为
是从 19 开始到 51 结束的。而 19 和 17 又是一对孪生素数对。为啥素数 p2 的下一个周期最
大的必然是 3p2 呢？这个容易理解，因为素因子第一次出现的时候是素数，后面出现的就是
其倍数，倍数是从低到高出现的，奇数数列中去掉了偶数，所以没有 2 倍数了，所以下一次
就必然是 3 倍数，所以必然是 3p2。3 和 p2 必然是重复占位，就是占了同一个位置，节约了
一个位置，就是产生一对孪生素数对是必然的，因为空缺位置不能被前面的素因子占位，且
是对应项都不能被占位了，必然是素数对位置。这就是定理，这就是充分条件，证毕！
由于，素数越来越稀，大于等于 4 的相邻素数的差有无穷多，所以，孪生素数对无穷
多。

ysr

ysr 发表于 2025-2-17 03:28
（2）孪生素数猜想：存在无穷多对素数 p，q ，使得 q - p = 2。

如 3，5 ；5，7 ；11，13 ；17，19 ；29 ...

下面就看利用欧几里得的证明方法：
证明方法二：
证明：前面两个数列中把对应项都是素数的，看作一个素数，把素数对看作一个素数，而把
合数对和半对子都看作合数，因为合数对和半对子都含有素因子。
这样就是看作一个数列了。由于是奇数数列，不含有素因子 2 的，且公差是 2。
用欧几里得的方法:
假设素数（素数对）是有限的，假设素数只有有限的 n 个，最大的一个素数是 p。
设 q 为所有素数之积(除了 2 的)加上 2，那么，q=（ 3×5×…×p ）+2 不是素数。

那么，q 可以被 3、5、…、p 中的数整除。
而 q 被这 3、5、…、p 中任意一个整除都会余 2，不能整除 q，与假设矛盾。
所以，素数（素数对）是无限的。
则差为 2 的素数对是无限的，就是孪生素数对是无限的，证毕！

ysr

我的证明过程都收录在我的《数论探秘》中了，这本书已经出版，欢迎惠阅和沟通探讨：（请在淘宝上的筑书书店购买，如下是电子版书稿）

wangyangke

wangyangke

如果3n+1上亦有王冠，那么，王冠上珍珠已被摘取