数学家的“游戏”竟主宰了宇宙规律：微观世界真的遍历所有可能路径？

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数学家的“游戏”竟主宰了宇宙规律：微观世界真的遍历所有可能路径？

原创 Masir123 科学羊 2025 年 02 月 12 日 07:25 广东

大家好，我是科学羊。

在现代物理学的发展历程中，有些概念最初似乎只是数学家的“游戏”，但最终却成为理解世界运作方式的关键工具。

20 世纪初，数学家诺伯特·维纳（Norbert Wiener）在研究布朗运动和扩散过程时，引入了一种名为维纳积分的数学方法。


一维的维纳过程的一个路径

尽管他的研究主要关注概率论和统计物理学，但这一方法无意间为量子力学提供了一种全新的视角：将粒子的所有可能路径进行求和。

这一思想在几十年后被物理学家保罗·狄拉克（Paul Dirac）发扬光大，并最终由理查德·费曼（Richard Feynman）发展为完整的路径积分理论，彻底改变了我们对微观世界的认知。

01 从维纳到狄拉克：量子力学的新视角

在经典力学中，我们通常认为粒子沿着唯一的一条路径运动，从起点到终点遵循牛顿定律。

然而，狄拉克在 1933 年左右提出了一个大胆的想法：如果我们换个角度来看待量子世界呢？

他指出，量子系统中的振幅应该与经典作用量 通过指数关系联系起来，也就是说，量子动力学可以被理解为所有可能历史的加权和。

狄拉克的观点虽然颇具创新性，但仍然停留在概念层面。

真正将这一思想发展为完整数学框架的是理查德·费曼。

02 费曼：路径积分的诞生

在经典物理学中，我们通常使用拉格朗日方法来描述物体的运动。

它的核心思想是：粒子总是选择使作用量最小的路径——这就是著名的最小作用量原理。

这也就是 1662 年，皮埃尔·德·费马提出费马原理，又称为“最短时间原理”：光线移动的路径是需时最少的路径。


光线从点 Q 传播至点 O 时，会被半圆形或混合形镜子反射，最终抵达点 P ，图源 wiki

然而，费曼提出，在量子力学中，粒子并不会“选择”一条唯一的路径，而是 遍历所有可能路径，并根据特定规则对它们进行求和。

想象一下，你想从家里走到公园。

在日常生活中，你可能会选择最短路径，因为它最快捷。



然而，在量子力学的世界里，粒子不会只选择一条路径，而是 “尝试” 所有可能的路径！更有趣的是，每条路径都会贡献一个“量”（即振幅），这些振幅可以相互增强（建设性干涉）或相互抵消（破坏性干涉）。

最终的结果取决于所有可能路径的总和。

费曼曾用他幽默的风格在奥克兰大学的一次讲座上描述这个现象：

“我将描述大自然是如何运作的——如果你不喜欢它，那就去别的地方吧。事情就是这样，如果你想理解它，你就必须习惯它。”

这一全新的路径积分方法，不仅提供了一种优雅的方式来描述量子力学，还让计算变得更加直观和高效。

它最终促成了量子电动力学（QED） 的发展，使得科学家能够用更简洁的方法计算粒子之间的相互作用，甚至催生了著名的费曼图，极大地简化了复杂的量子场论计算。

03 路径积分的数学之美

路径积分的核心思想是：要计算粒子从一点运动到另一点的概率振幅，我们需要对它所有可能采取的路径进行求和。

数学上，这可以写成：



S[x(t)] 是作用量，定义为拉格朗日量 L(x,x',t) 随时间的积分：



指数项代表不同路径的量子干涉效应。

最神奇的地方在于：当 h（普朗克常数）很小时，这些相位因子会发生剧烈振荡。

结果是，只有最小化作用量的路径才会贡献最大，而其它路径的贡献大部分会相互抵消。

这正是为什么在宏观世界里，我们观察到粒子似乎总是沿着可预测的路径运动——因为经典轨迹是所有可能路径中相干性最强的那一条！

04 双缝实验：路径积分的奇迹

路径积分方法还可以帮助我们更直观地理解量子干涉现象。

一个最典型的例子就是双缝实验。在这个实验中，单个电子从源头射出，并穿过一个有两条缝隙的屏障，最终落在探测屏幕上，形成干涉图案。

按照经典粒子理论，电子应该只通过其中一个缝隙，最终在屏幕上形成两个点状的分布。

然而，实验结果却显示出一条条的 干涉条纹，这表明电子表现得像波一样，似乎同时经过了两个缝隙！

在费曼的路径积分框架下，这个现象的解释非常自然：电子不会选择一条确定的路径，而是同时经过两个缝隙，以及所有其他可能的路径。

它们的总振幅是所有路径振幅的叠加，因此某些路径会相互增强，而另一些则会相互抵消，最终形成我们在屏幕上看到的干涉图案。

这不仅是量子力学最令人惊奇的现象之一，也是对经典直觉的直接挑战。

路径积分方法不仅彻底改变了量子力学，还在许多其他领域产生了深远的影响。例如：

1.  量子场论：在标准模型中，路径积分不仅用于计算粒子的运动轨迹，还可以推广到求和 所有可能的场配置，从而描述从电磁场到希格斯场的各种物理现象。

2.  统计力学：通过威克旋转（将时间变为虚数），路径积分可以用于分析统计系统的配分函数，从而建立量子力学与热力学之间的深刻联系。

3. 金融数学：在金融衍生品定价中，路径积分方法被用来计算股票价格的概率分布，类似于粒子在空间中的运动。

费曼的路径积分方法展示了宇宙的奇妙之处。

传统上，我们认为物体的运动是确定的，遵循一条明确的轨迹。

然而，在微观世界，粒子似乎在 所有可能的路径上同时存在，而我们最终观察到的行为只是所有可能路径相互干涉的结果。

如同费曼所说：

“宇宙比表面上看起来更加奇异和美丽。”

从维纳积分到路径积分，数学和物理的交汇让我们得以一窥量子世界的奇妙运作方式。

或许，我们永远无法彻底理解它，但正是这些令人困惑的现象，让科学变得如此迷人。

好，今天先这样啦～

祝幸福～

参考文献

[1]. Medium/Sunny Labh

科学羊 2025/02/12 于东莞