已知 a，b，c∈R+ ，求证：a^3/b^2+b^3/c^2+c^3/a^2≥a^2/b+b^2/c+c^2/a

波斯猫猫

已知 a，b，c∈R+，求证：a^3/b^2+b^3/c^2+c^3/a^2≥a^2/b+b^2/c+c^2/a 。

波斯猫猫

思路：∵ a，b，c∈R+，根据对称性，不妨令，a≥b≥c＞0，

∴ a/b≥1，b/c≥1，a≥c.

∴  a^3/b^2+b^3/c^2+c^3/a^2-(a^2/b+b^2/c+c^2/a)

=a^2(a-b)/b^2+b^2(b-c)/c^2+c^2(c-a)/a^2

≥a-c-c^2(a-c)/a^2=(a+c)(a-c)^2/a^2≥0.

即a^3/b^2+b^3/c^2+c^3/a^2≥a^2/b+b^2/c+c^2/a.

注：此处用的是作差比较法，还能迅速找到其他的方法吗？

luyuanhong

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天山草

用 mathematica 做此题，是下面这条指令：
Simplify[a^3/b^2 + b^3/c^2 + c^3/a^2 >= a^2/b + b^2/c + c^2/a, {a > 0,
   b > 0, c > 0}]

1. Simplify[a^3/b^2 + b^3/c^2 + c^3/a^2 >= a^2/b + b^2/c + c^2/a, {a > 0,
   
2.    b > 0, c > 0}]

复制代码

天山草

类似的，用 mathematica 可验证下面这题也成立：
已知 a，b，c∈R+，求证：a^4/b^3+b^4/c^3+c^4/a^3 ≥ a^3/b^2+b^3/c^2+c^3/a^2 。

下题是不是也成立呢？
已知 a，b，c∈R+，求证：a^5/b^4+b^5/c^4+c^5/a^4 ≥ a^4/b^3+b^4/c^3+c^4/a^3 。

答案是也成立。不过用 mathematica 来证明就十分困难了，因为运行时间太长，无法容忍。

更一般点，当 a>0，b>0，c>0，n>=3 时，下面这个不等式成立：

a^n/b^(n-1)+b^n/c^(n-1)+c^n/a^(n-1) ≥ a^(n-1)/b^(n-2)+b^(n-1)/c^(n-2)+c^(n-1)/a^(n-2)。

证明见下页。该证明是【悠闲娱乐数学论坛】的 kuing 给出的。kuing 是研究不等式的专家。

天山草

还可以推广到更一般的情况：（下面证明是【悠闲娱乐数学论坛】网站的站长 kuing 给出的）

注：点击下面图面并转动鼠标滚轮，可放大图片。