百年求索：华人数学家在希尔伯特第六问题取得突破

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百年求索：华人数学家在希尔伯特第六问题取得突破

原创  数理周四 数理拾光 2025 年 03 月 06 日 北京

自 1900 年大卫·希尔伯特（David Hilbert）在巴黎国际数学家大会上提出那著名的 23 个问题以来，一百多年的时间里，无数数学家和物理学家为解答这些难题殚精竭虑。



2025 年 3 月 3 日，一篇发表在预印本网站上的论文，为这“百年求索”之路增添了浓墨重彩的一笔，论文宣称在希尔伯特第六问题框架下的一个经典子问题上取得了突破性进展。这篇论文的三位作者——邓煜、扎赫尔·哈尼（Zaher Hani）和马骁，以其深邃的洞察力和精湛的数学技巧，为这个困扰了数学界和物理学界一个多世纪的难题，描绘出了一幅清晰的解答图景。

希尔伯特第六问题，这个在当时提出的宏伟设想，远非一个具体方程或猜想，而是一项旨在为物理学奠定坚实数学基础的世纪工程。这位 20 世纪初的数学巨擘，希望将物理学，尤其是当时方兴未艾的概率论和气体动理论，纳入严密的公理化体系之中。如同欧几里得几何学（Euclidean Geometry）以少数几条公理为基石，推演出整个几何大厦一般，希尔伯特期望物理学也能找到自己的“公理”，并由此出发，推导出所有物理定律。

在希尔伯特第六问题的众多分支中，有一个希尔伯特第六问题框架下的一个经典子问题尤为引人瞩目：如何从微观的牛顿力学（Newtonian Mechanics）出发，严格推导出宏观的流体动力学方程？这看似简单的设问，实则蕴含着深刻的物理和数学挑战。它要求我们跨越从原子、分子到日常可见的流体之间的巨大尺度鸿沟，将看似截然不同的两种物理图景，用严密的数学语言连接起来。

一、玻尔兹曼方程：微观与宏观的桥梁



要理解这一挑战，我们必须先认识一位关键人物——路德维希·玻尔兹曼（Ludwig Boltzmann）。这位 19 世纪末的奥地利物理学家，是统计力学的奠基人之一。他坚信物质由原子和分子构成，并试图用统计方法描述大量粒子的集体行为。在这一过程中，他提出了一个非凡的方程——玻尔兹曼方程（Boltzmann Equation）。

玻尔兹曼方程并非直接描述单个原子的运动轨迹，而是着眼于大量粒子在空间和速度上的分布。它引入了一个关键概念：分布函数（Distribution Function），用以描述在某一时刻、某一位置、具有某一速度的粒子的数量。玻尔兹曼方程的核心，是一个描述分布函数随时间演化的积分-微分方程（Integro-differential Equation）。这个方程右侧，是一个被称为“碰撞项（Collision Term）”的复杂积分，它体现了粒子之间的相互作用——主要是二元碰撞——如何改变分布函数。
玻尔兹曼方程的提出，是物理学史上的一座里程碑。它首次将微观的粒子碰撞与宏观的气体性质（如温度、压强）联系起来。然而，这个方程的数学性质却极为复杂，长期以来，对其严格的数学推导一直是困扰数学家们的难题。

二、兰福德的突破与“短时有效性”

时间快进到 20 世纪 70 年代。1975 年，一位名叫奥斯卡·兰福德（Oscar Lanford）的美国数学家，在玻尔兹曼方程的研究上取得了重要突破。他考虑了一个理想化的模型：由大量硬球粒子（Hard-sphere Particles）组成的稀薄气体。这些粒子像微小的台球一样，除了发生瞬间的弹性碰撞外，彼此之间没有其他相互作用。

兰福德运用精妙的概率论方法和组合技巧，证明了在一定条件下，从牛顿力学出发，可以严格推导出玻尔兹曼方程。他将粒子的运动轨迹表示为一棵“碰撞树（Collision Tree）”，树上的每个节点代表一次碰撞，树枝则代表粒子在碰撞之间的自由运动。通过巧妙地对这些碰撞树进行分类和计数，兰福德成功地证明了，在粒子数趋于无穷、粒子直径趋于零（但粒子数密度保持有限）的极限下，粒子的分布函数确实趋近于玻尔兹曼方程的解。

兰福德的定理，被称为“兰福德定理（Lanford's Theorem）”，是希尔伯特第六问题研究中的一个重要里程碑。然而，这个定理有一个严重的局限性：它只在极短的时间内有效。具体来说，兰福德证明的有效时间，大约只有平均碰撞时间的五分之一。这意味着，他的结果只能描述气体在极短时间内的演化，而无法触及更长时间尺度的行为。

为什么兰福德的定理只能在短时间内有效？其根本原因在于，随着时间的推移，粒子之间的碰撞会变得越来越复杂。在兰福德的推导中，他假设粒子之间的碰撞是稀疏的，即在短时间内，每个粒子最多只与其他粒子发生一次碰撞。但随着时间的推移，粒子之间的多次碰撞、甚至多体碰撞会变得越来越频繁，这使得兰福德的“碰撞树”方法失效。

三、邓煜、哈尼、马骁的贡献：长时有效性与流体极限



现在，让我们回到 2025 年。邓煜、哈尼和马骁的这项工作，正是针对兰福德定理的“短时有效性”问题，取得了重大突破。他们证明了，在一定条件下，玻尔兹曼方程的有效性可以扩展到任意长的时间！

这三位数学家是如何做到的呢？他们的核心思想，是对兰福德的“碰撞树”方法进行了改进和推广。他们引入了一种更为精细的“分层簇展开（Layered Cluster Expansion）”方法，将粒子的碰撞历史按照时间的顺序进行分层。每一层，都对应着一组特定类型的碰撞事件。通过巧妙地设计分层方式，并引入一种“切割算法（Cutting Algorithm）”，他们成功地控制了多体碰撞和多次碰撞带来的复杂性。

如果说兰福德的“碰撞树”是一棵简单的二叉树，那么邓煜等人的“分层簇展开”就像一棵结构复杂的参天大树，它的每一层都对应着不同尺度的碰撞事件。通过巧妙地“修剪”这棵大树，他们得以将那些导致“短时有效性”的复杂碰撞排除在外，从而将玻尔兹曼方程的有效性拓展到任意长的时间。

邓煜、哈尼和马骁的这项工作，不仅在玻尔兹曼方程的推导上取得了突破，还为从玻尔兹曼方程到流体方程的过渡，铺平了道路。在他们的论文中，他们进一步证明了，当粒子的碰撞频率趋于无穷时（对应于流体的连续介质极限），玻尔兹曼方程的解会趋近于两类重要的流体方程：

● 可压缩欧拉方程（Compressible Euler Equations）：描述无粘性、可压缩流体的运动。

● 不可压缩纳维-斯托克斯-傅里叶方程（Incompressible Navier-Stokes-Fourier Equations）：描述有粘性、不可压缩流体的运动，并考虑了热传导效应。

这两类方程，是流体力学中的基石。它们广泛应用于航空航天、天气预报、海洋工程等领域。邓煜、哈尼和马骁的工作，首次从微观的粒子动力学出发，严格推导出了这两类方程。这意味着，他们成功地完成了希尔伯特设想的“从原子论到连续介质运动定律”的数学过渡。

四、华人数学家的贡献与影响

邓煜、哈尼和马骁的这项工作，无疑是近年来数学物理领域的一项重大突破。它不仅解决了这一经典难题，也为我们理解物质的微观结构与宏观性质之间的联系，提供了新的视角。



值得一提的是，这项工作的三位作者中，有两位是华人数学家。邓煜，本科毕业于北京大学，后转学至麻省理工学院（MIT），在普林斯顿大学获得博士学位，现为芝加哥大学教授。马骁，本科毕业于中国科学技术大学少年班，同样在普林斯顿大学获得博士学位，现为密歇根大学助理教授。他们的成就，也为华人数学界增添了新的光彩。

在华人数学界内部，这项工作也引起了广泛的关注和讨论。多位知名数学家对这一成果给予了高度评价，认为它“非常厉害”，是具有重大国际影响的成果。虽然最终的定论还需要更长时间的同行评议，但这一工作的潜在影响已经不容忽视。

五、未竟之路：希尔伯特第六问题的广阔前景

需要指出的是，邓煜、哈尼和马骁的工作，解决的是希尔伯特第六问题中，从粒子动力学到流体动力学的这一经典路径。而希尔伯特第六问题本身，还包括更广泛的物理领域，如量子力学、量子场论的公理化。

事实上，量子力学的公理化已经取得了显著进展，冯·诺依曼（John von Neumann）等人在这方面做出了奠基性的工作。但量子场论（Quantum Field Theory）的公理化，至今仍是一个巨大的挑战。著名的“杨-米尔斯存在性与质量间隙（Yang-Mills Existence and Mass Gap）”问题，就是这一挑战的集中体现，它也是千禧年大奖难题之一。

因此，希尔伯特第六问题，仍然是一座等待攀登的高峰。邓煜、哈尼和马骁的工作，为我们提供了新的攀登路径和工具。未来的研究，或许可以沿着他们的足迹，向更广阔、更深邃的物理世界进发。

例如，一个自然的问题是：能否将他们的结果推广到更一般的粒子相互作用模型？真实的气体分子之间的相互作用，远比硬球模型复杂。能否将邓煜等人的方法，应用于具有更一般的相互作用势（Interaction Potential）的粒子系统？

另一个问题是：能否将他们的结果推广到远离平衡态的系统？真实的流体，往往处于远离平衡态的状态，例如湍流（Turbulence）。能否将邓煜等人的方法，应用于描述湍流等复杂现象？

此外，希尔伯特第六问题也与当代物理学的前沿问题紧密相连。例如，量子引力（Quantum Gravity）的公理化，就是当前理论物理学面临的最大挑战之一。如何将量子力学与广义相对论（General Relativity）统一起来，建立一个自洽的量子引力理论，这或许是 21 世纪的希尔伯特第六问题。

结语：从微观到宏观，探索永无止境



从玻尔兹曼方程到流体方程，从牛顿力学到量子场论，希尔伯特第六问题所代表的，是人类对自然界最深层规律的永恒追问。邓煜、哈尼和马骁的这项工作，为我们理解微观世界与宏观世界之间的联系，迈出了坚实的一步。

他们的工作，不仅是对希尔伯特这位伟大数学家的致敬，也是对人类理性探索精神的礼赞。在未来的岁月中，我们有理由期待，更多的数学家和物理学家，将沿着这条充满挑战和希望的道路，继续前行，揭示更多自然界的奥秘。

数理拾光

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2025 年邓煜、哈尼和马骁宣称：针对兰福德定理的“短时有效性”问题，取得了重大突破。

他们宣称证明了，在一定条件下，玻尔兹曼方程的有效性可扩展到任意长的时间！



那么什么是玻尔兹曼方程？

第一，所谓"兰福德定理“并不是定理，而是事件过程的推演或者叫假设

Boltzmann transport equation，BTE）是由玻尔兹曼于1872年提出的一个方程，用于描述非平衡状态热力学系统的统计行为。

具有温度梯度的流体即为这类系统的一个经典的例子：构成流体的微粒在系统中通过随机而具有偏向性的运动让热量从较热的区域流向较冷的区域，而这一过程可用玻尔兹曼方程来描述。

在现今的论文中，“玻尔兹曼方程”这个术语常被用于更一般的意义上，它可以是任何涉及描述

热力学系统中宏观量（如能量，电荷或粒子数）的变化的动力学方程。

波尔兹曼方程并不去确定流体中每个粒子的位置和动量，而是求出具有特定位置和动量的粒子的概率分布。具体而言，考虑某一瞬间，以位置矢量 r 末端为中心的无穷小区域内，动量无限接近动量矢量 p（即这些粒子在动量空间中也处于无穷小区域 d3p内）的粒子的概率分布。

波尔兹曼方程是一个非线性的积微分方程。方程中的未知函数是一个包含了粒子空间位置和动量的六维概率密度函数。

方程解的存在性和唯一性问题仍然没有完全解决，玻尔兹曼的一个关键见解就是对碰撞项的确定。

他假设的碰撞项完全是由假定在碰撞前不相关的两个粒子的相互碰撞得到的。这个假设被波尔兹曼称为“Stosszahlansatz”，也叫做“分子混沌假设”。根据这一假设，

碰撞项可以被写作单粒子分布函数的乘积在动量空间上的积分。

直到2010年，波尔兹曼方程的准确解才在数学上被证明是良好（well-behaved）的。这意味着：“如果”对服从波尔兹曼方程的系统施加一个微扰，此系统最终将回到平衡状态，而不是发散到无穷，或表现出其他的行为。然而，这种存在性证明是无助于我们在现实问题中求解该等式的。

事实上，这个结论只告诉我们某种特定条件下的解是否存在，而不是如何找到他们。

在实践中，数值计算方法被用于寻找各种形式的波尔兹曼方程的近似解，应用范围从稀薄气流中的高超音速空气动力学，到等离子体的流动中都可以见到。

1975 年，一位名叫奥斯卡·兰福德（Oscar Lanford）的美国数学家，在玻尔兹曼方程的研究上取得了重要突破。他考虑了一个理想化的模型：由大量硬球粒子（Hard-sphere Particles）组成的稀薄气体。这些粒子像微小的台球一样，除了发生瞬间的弹性碰撞外，彼此之间没有其他相互作用。

兰福德运用精妙的概率论方法和组合技巧，假设了在一定条件下，从牛顿力学出发，可以严格推导出玻尔兹曼方程。

他将粒子的运动轨迹表示为一棵“碰撞树（Collision Tree）”，树上的每个节点代表一次碰撞，树枝则代表粒子在碰撞之间的自由运动。通过巧妙地对这些碰撞树进

行分类和计数，兰福德宣称地证明了，在粒子数趋于无穷、粒子直径趋于零（但假设粒子数密度保持有限）的极限下，粒子的分布函数确实趋近于玻尔兹曼方程的解。

第二， 2025 年邓煜、哈尼和马骁荒唐宣称：针对兰福德定理的“短时有效性”问题，取得了重大突破
他们宣称证明了，在一定条件下，玻尔兹曼方程的有效性可以扩展到任意长的时间！这三位数学家是如何荒唐可笑的呢？

他们的核心思想，是对兰福德的“碰撞树”方法进行了改进和推广。他们引入了一种更为精细的“分层簇展开（Layered Cluster Expansion）”方法，将粒子的碰撞历史按照时间的顺序进行分层。每一层，都对应着一组特定类型的碰撞事件。通过巧妙地设计分层方式，并引入一种“切割算法（Cutting Algorithm）”，他们成功地控制了多体碰撞和多次碰撞带来的复杂性。

如果说兰福德的“碰撞树”是一棵简单的二叉树，那么邓煜等人的“分层簇展开”就像一棵结构复杂的参天大树，它的每一层都对应着不同尺度的碰撞事件。通过

巧妙地“修剪”这棵大树，他们得以将那些导致“短时有效性”的复杂碰撞排除在外，从而将玻尔兹曼方程的有效性拓展到任意长的时间。

第三，批判

首先，总结上述内容，我们可以知道，以上是对一种物理学动态事件的推演，而不是数学演绎证明。其中许多内容都是使用假定或者假设，求出具有特定位置。

例如或者假定在碰撞前不相关的两个粒子，方程解的存在性和唯一性问题没有解决。事件是一个过程，将事件过程分解成为许许多多的层次，逐一解释。

其次，这是二阶或者高阶逻辑问题，与三体问题一样。是无穷多个变化率的变化率。不是数学命题的证明。正如计算圆周率一样，你可以计算到多精确。

第三，结论“在一定条件下，玻尔兹曼方程的有效性可以扩展到任意长的时间”是一个病句。

主项是：“玻尔兹曼方程的有效性”。

谓项是：”任意长的时间“

根据语法规则：“肯定判断谓项不周延'”。而谓项“任意长的时间”就是周延了。“任意”就是无限制的，不受制约的。