在希尔伯特第十九问题做出卓越贡献的女数学家

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在希尔伯特第十九问题做出卓越贡献的女数学家

原创  数理周五 数理拾光 2025 年 03 月 07 日 北京



2025 年初，数学界一篇关于华人数学家在希尔伯特第六问题（Hilbert's Sixth Problem）上取得突破的论文，引发广泛关注。媒体争相报道，甚至将其与数学界的最高荣誉——菲尔兹奖（Fields Medal）相提并论。然而，当我们回溯希尔伯特的 23 个著名问题，追寻那些推动数学进步的先驱足迹时，有一个名字不应被遗忘——奥尔加·拉德任斯卡娅（Olga Ladyzhenskaya）。

今天是 2025 年 3 月 7 日，是这位杰出俄罗斯女数学家诞辰 103 周年纪念日。又恰逢明天是 3 月 8 日国际妇女节，让我们一同走近奥尔加·拉德任斯卡娅，这位在希尔伯特第十九问题和流体力学领域做出卓越贡献的女性，聆听她的故事，感受她那如诗般绚烂的数学人生。

一、命运的转折：从“人民公敌”之女到数学殿堂

1922 年 3 月 7 日，奥尔加·拉德任斯卡娅出生在俄罗斯科斯特罗马省一个名为科洛格里夫的小镇。这里远离城市的喧嚣，四周环绕着茂密的森林，风景如画的温扎河蜿蜒流淌。她的父亲，亚历山大·伊万诺维奇·拉德任斯基，是一位才华横溢的中学数学教师，也是一位充满人文情怀的知识分子。他不仅将数学知识传授给学生，更将对数学的热爱，深深地植入了女儿的心中。

在父亲的引导下，小奥尔加很早就展现出了惊人的数学天赋。她常常依偎在父亲身边，听他讲解几何图形的奥秘，感受数字跳动的韵律。她喜欢和父亲一起讨论数学问题，甚至像个小大人一样，与父亲一同钻研微积分。在那个物质匮乏的年代，书籍是他们了解外部世界的主要窗口，也是他们精神世界里最宝贵的财富。家中丰富的藏书，尤其是数学和历史书籍，为奥尔加打开了一扇通往知识殿堂的大门，也培养了她独立思考的能力和对真理的执着追求。

然而，幸福的童年时光，在 1937 年戛然而止。那一年，苏联掀起了“大清洗”运动，全国上下笼罩在一片恐怖的气氛之中。拉德任斯卡娅的父亲，因为曾经是沙俄时期的贵族，被苏联内务人民委员部（NKVD）以“人民公敌”的罪名逮捕并处决。这个突如其来的打击，给这个家庭带来了无尽的痛苦。15 岁的奥尔加，一夜之间失去了敬爱的父亲，也失去了原本平静的生活。她不得不面对残酷的现实，承担起家庭的重担。

尽管生活陷入困境，拉德任斯卡娅并没有放弃对数学的追求。她以优异的成绩完成了中学学业。然而，在那个“出身论”盛行的年代，因为父亲的“罪名”，她被无情地挡在了列宁格勒国立大学的门外。政治的风暴，无情地摧残着每一个个体的命运，也让年轻的奥尔加过早地体会到了人生的艰辛和不公。

二、逆境中的绽放：在数学的世界里寻找光明

面对命运的不公，拉德任斯卡娅没有屈服，更没有放弃希望。她坚信，知识可以改变命运，数学可以照亮人生。她先是在一所师范学院学习，之后回到家乡，在父亲曾经任教的学校里，成为了一名数学教师。她像父亲一样，将全部的热情投入到教学中，用数学的魅力，点亮学生们的心灵，也用自己的行动，延续着父亲未竟的事业。



1943 年，一个难得的机会降临。在一位学生母亲的帮助下，拉德任斯卡娅终于叩开了莫斯科国立大学（Moscow State University）的大门。在那里，她如饥似渴地学习着，师从伊万·彼得罗夫斯基（Ivan Petrovsky）、谢尔盖·索伯列夫（Sergei Sobolev）、弗拉基米尔·斯米尔诺夫（Vladimir Smirnov）等数学大师。这些大师级的学者，不仅为她传授了精深的数学知识，更以他们的学术风范和人格魅力，深深地影响着拉德任斯卡娅。

在莫斯科国立大学的浓厚学术氛围中，拉德任斯卡娅的数学才华得到了充分的施展。她积极参加各种学术讨论，与同学们一起探索数学的奥秘。她尤其对偏微分方程（Partial Differential Equations）产生了浓厚的兴趣。这是一种描述自然界中各种变化过程的数学工具，例如热量的传导、流体的运动、电磁波的传播等等，都与偏微分方程息息相关。

在那个年代，偏微分方程的研究正处于蓬勃发展的时期。许多重要的数学家，如柯朗（Courant）、弗里德里希斯（Friedrichs）、勒雷（Leray）等，都在这一领域做出了开创性的工作。拉德任斯卡娅也加入了这股研究的热潮，并逐渐将其作为自己毕生的研究方向。

1947 年，拉德任斯卡娅从莫斯科国立大学毕业，并回到列宁格勒，在列宁格勒国立大学攻读博士学位。在导师斯米尔诺夫的指导下，她开始了对双曲型方程有限差分方法的研究，并于 1949 年成功完成了博士论文。这篇论文，标志着她在数学研究的道路上迈出了坚实的一步。

三、数学的缪斯：偏微分方程与流体力学的双重奏

拉德任斯卡娅的学术生涯，可以用“辉煌”二字来形容。她在偏微分方程和流体力学两大领域，都取得了举世瞩目的成就。她的研究，不仅具有深刻的理论意义，也对实际应用产生了重要的影响。

1. 希尔伯特第十九问题的探索

在偏微分方程方面，她对希尔伯特第十九问题（Hilbert's Nineteenth Problem）做出了重要贡献。为了更好地理解拉德任斯卡娅的贡献，我们需要先了解一下希尔伯特第十九问题。

1900 年，大卫·希尔伯特（David Hilbert）在巴黎国际数学家大会上提出了 23 个数学问题，这些问题对 20 世纪数学的发展产生了深远的影响。其中，第十九问题关注的是变分问题的解的解析性。

什么是变分问题？简单来说，就是在一组函数中寻找一个函数，使得某个泛函（函数的函数）达到极值。例如，在给定两点之间寻找最短曲线，就是一个典型的变分问题。而“正则变分问题”指的是一类特殊的变分问题，它们的欧拉-拉格朗日方程是椭圆型的偏微分方程，并且满足一定的解析性条件。

希尔伯特认为，这类“正则变分问题”的解都应该是解析函数。所谓解析函数，就是可以在局部展开成收敛的泰勒级数的函数。这个猜想，在 20 世纪初，是偏微分方程领域的一个重要问题。如果这个猜想成立，那么我们就可以利用解析函数的良好性质，来研究偏微分方程的解，这将大大简化问题的难度。

20 世纪 50 年代，恩尼奥·德·乔吉（Ennio De Giorgi）和约翰·纳什（John Forbes Nash, Jr.）分别独立地证明了，在一定条件下，正则变分问题的解具有 Holder 连续性（Holder Continuity）。Holder 连续性比一般的连续性更强，它要求函数在局部变化时受到一定的约束。他们的工作，为希尔伯特的猜想提供了有力的支持。

拉德任斯卡娅和她的学生尼娜·乌拉尔采娃（Nina Uraltseva）在此基础上，进一步深入研究了拟线性椭圆型方程（Quasilinear Elliptic Equations）和抛物型方程（Parabolic Equations）的解的正则性问题。这类方程比德·乔吉和纳什考虑的方程更加广泛，它们的系数不仅依赖于自变量，还依赖于未知函数及其导数。

拉德任斯卡娅和乌拉尔采娃证明了，在一定的条件下，这类方程的解也具有 Holder 连续性。她们的工作，不仅推广了德·乔吉和纳什的结果，还建立了一套完整的理论体系，为解决这类方程的边值问题提供了强有力的工具。她们的这项工作，极大地推动了偏微分方程领域的发展，深化了人们对希尔伯特第十九问题的理解。她们的合著《Linear and Quasilinear Elliptic Equations》，被誉为“每一个研究椭圆型方程的学者都应该阅读的著作”。

2. 流体力学的深耕

在流体力学方面，拉德任斯卡娅将她的数学才华，倾注于纳维-斯托克斯方程（Navier-Stokes Equations）的研究。纳维-斯托克斯方程，是描述粘性不可压缩流体运动的基本方程，是流体力学中最重要、也是最难解的方程之一。它可以用来描述各种各样的流体现象，例如河流的流动、空气的湍流、海洋的洋流等等。

拉德任斯卡娅不仅独立证明了二维纳维-斯托克斯方程解的唯一性，还提出了著名的“LBB 条件”（Ladyzhenskaya–Babuska–Brezzi condition，也称 inf-sup 条件）。这个条件，是混合有限元方法（Mixed Finite Element Method）在流体力学中应用的一个关键条件。混合有限元方法，是一种数值求解偏微分方程的方法，它将多个变量（例如速度和压力）同时进行离散化，从而提高计算的精度和稳定性。“LBB 条件”保证了混合有限元方法的收敛性和稳定性，为数值模拟流体运动提供了可靠的理论基础。

此外，拉德任斯卡娅还为纳维-斯托克斯方程的有限差分方法（Finite-difference Method）提供了第一个严格的收敛性证明。有限差分方法，是一种将连续的偏微分方程转化为离散的差分方程进行求解的数值方法。她的工作，为数值模拟流体运动提供了坚实的理论基础。

对于三维纳维-斯托克斯方程这个世界级难题，拉德任斯卡娅也进行了创造性的探索。她提出了一种修正的纳维-斯托克斯方程，通过引入一个非线性项来模拟流体中的小尺度涡旋，从而改善了方程的数学性质。

1963 年，拉德任斯卡娅出版了专著《粘性不可压缩流体的数学理论》（The Mathematical Theory of Viscous Incompressible Flow）。这本书，系统地总结了她在纳维-斯托克斯方程方面的研究成果，内容涵盖了方程的适定性、解的正则性、数值方法、稳定性等多个方面，成为了流体动力学领域的必读经典，被翻译成多种语言，在世界范围内产生了广泛的影响。

四、时代的见证者：一位女性数学家的坚守与担当



拉德任斯卡娅的一生，不仅见证了 20 世纪数学的蓬勃发展，也经历了苏联时代的风云变幻。她是一位杰出的数学家，也是一位有良知、有担当的知识分子。她的身上，闪耀着那个时代特有的光芒。

在那个特殊的年代，女性从事科学研究，本就面临着诸多困难和偏见。在男性主导的数学界，女性的身影更是凤毛麟角。而拉德任斯卡娅，又是一位“人民公敌”的女儿，她所承受的压力，可想而知。然而，她从未向命运低头，始终坚持着对数学的热爱和追求。她用自己的行动，证明了女性同样可以在数学领域取得卓越的成就。

她热爱艺术，喜欢与作家、诗人保持着密切的交往。她与著名作家亚历山大·索尔仁尼琴（Aleksandr Solzhenitsyn）和著名诗人安娜·阿赫玛托娃（Anna Akhmatova）的友谊，传为一段佳话。她从文学和艺术中汲取灵感，也用自己的数学研究，为艺术增添了理性的光辉。

她关心社会，积极参与公共事务。她曾担任市议会议员，利用自己的影响力，为民众争取权益。她多次冒着风险，帮助那些受到不公正待遇的人，为他们提供庇护和支持。她用自己的行动，诠释了知识分子的良知和责任，展现了那个时代知识分子的风骨。

苏联解体后，许多科学家选择离开祖国，到西方寻求更好的发展机会。但拉德任斯卡娅却选择了留下，继续为俄罗斯的数学事业贡献自己的力量。她担任圣彼得堡数学学会主席，致力于培养年轻一代的数学家。她将自己的知识和经验，毫无保留地传授给学生，为俄罗斯数学的传承和发展，播撒了希望的种子。

五、不朽的传奇：数学星空中最亮的星

2004 年 1 月 12 日，拉德任斯卡娅在睡梦中安详离世，走完了她 81 年的人生旅程。她的一生，如同一首优美的诗篇，充满了对数学的热爱，对真理的追求，以及对祖国和人民的深情。

拉德任斯卡娅的数学成就，得到了国际数学界的高度认可。她获得了许多重要的奖项和荣誉，包括罗蒙诺索夫金质奖章（Lomonosov Gold Medal）、约翰·冯·诺依曼奖（John von Neumann Prize）等。她是俄罗斯科学院院士，也是多个国际科学院的外籍院士。她的名字，被镌刻在美国波士顿科学博物馆的数学展厅中，与众多伟大的数学家并列，供后人瞻仰。

著名数学家彼得·拉克斯（Peter Lax）曾这样评价她：“奥尔加·拉德任斯卡娅是一位伟大的数学家，她的工作对偏微分方程和流体力学领域产生了深远的影响。她是一位真正的先驱，她的精神将永远激励着我们。”

然而，对于拉德任斯卡娅来说，这些荣誉或许只是身外之物。她更看重的，是数学本身所蕴含的无穷魅力，是探索未知世界所带来的快乐和满足。她曾说过：“数学是我的生命，我无法想象没有数学的生活。”

在今天，在她诞辰 103 周年之际，又恰逢国际妇女节前夕，让我们向这位伟大的女数学家致敬！她的名字，奥尔加·拉德任斯卡娅，将永远镌刻在数学的殿堂，激励着一代又一代的数学家，特别是女性数学家，勇敢地追逐自己的梦想，为人类的科学事业，谱写更加辉煌的篇章。奥尔加·拉德任斯卡娅，这位数学星空中最亮的星，将永远闪耀着智慧的光芒。她的故事，将永远流传，激励着我们不断前行。

数理拾光