在地面测得山顶仰角 θ，前进 110 测得仰角 2θ，再前进 30 测得仰角 90°-θ，求山高

evaQ

天山草

设三个未知数，山高为 \(h\)，\(CD=x\)，人在 \(A\) 处时的仰角为 \(θ\)。可列出三个方程。
求解即可。


山高为 \(60\sqrt{2}\) 米高，即 \(84.85\) 米高。

王守恩

天山草 发表于 2025-3-14 22:22
设三个未知数，山高为 \(h\)，\(CD=x\)，人在 \(A\) 处时的仰角为 \(θ\)。可列出三个方程。
求解即可。
...

对△BCE施行正弦定理。BE=110。

1. Solve[{(h*Sec[a])/Sin[2 a] == 110/Cos[a] == 30/Cos[3 a], 1 > a > 0}, {a, h}] // FullSimplify

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{{a -> 2 ArcCot[Sqrt[10 + 3 Sqrt[11]]], h -> 60 Sqrt[2]}}

王守恩

天山草 发表于 2025-3-14 22:22
设三个未知数，山高为 \(h\)，\(CD=x\)，人在 \(A\) 处时的仰角为 \(θ\)。可列出三个方程。
求解即可。
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Solve[{h^2 + (h*Tan[a] + 30)^2 == 110^2,  h^2 + (h*Tan[a] + 140)^2 == (110*2 Cos[a])^2, 1 > a > 0}, {a, h}] // FullSimplify

{{a -> 1/2 ArcTan[(6 Sqrt[2])/7], h -> 60 Sqrt[2]}}

王守恩

天山草 发表于 2025-3-14 22:22
设三个未知数，山高为 \(h\)，\(CD=x\)，人在 \(A\) 处时的仰角为 \(θ\)。可列出三个方程。
求解即可。
...

Solve[{h*(h*Tan[a] + 30)*Sin[Pi/2] == (h*Tan[a] + 30)*110*Sin[2 a] == 110*h*Cos[2 a], 1 > a > 0, h > 0}, {a, h}] // FullSimplify
{{a -> 2 ArcCot[Sqrt[10 + 3 Sqrt[11]]], h -> 60 Sqrt[2]}}

王守恩

天山草 发表于 2025-3-14 22:22
设三个未知数，山高为 \(h\)，\(CD=x\)，人在 \(A\) 处时的仰角为 \(θ\)。可列出三个方程。
求解即可。
...

Solve[{h/Sin[a] == (h*Tan[a] + 140)/Cos[a] == (110*2 Cos[a])/Sin[Pi/2], 1 > a > 0}, {a, h}] // FullSimplify
{{a -> 2 ArcCot[Sqrt[10 + 3 Sqrt[11]]], h -> 60 Sqrt[2]}}

luyuanhong