ABPQ 是边长 2 的菱形，∠PQA=120°，A,B 分别在正 x 轴、正 y 轴上移动，求 P 点轨迹

天山草

\(ABPQ\) 是边长为 \(2\)，一个内角为 \(120\) 度的菱形。

ataorj

如图,是从x求y和z.
先求出m,得到sin(a),sin(a+π/6),余略

天山草

Ysu2008

【解】

如图，设 \(\angle OAB=\alpha\) ，则有 \(\overrightarrow{OA}=2\cos\alpha\ {,}\ \overrightarrow{OB}=2i\sin\alpha\)
\(\overrightarrow{BA}=\overrightarrow{OA}-\overrightarrow{OB}=2\cos\alpha-2i\sin\alpha\)

将\(\overrightarrow{BA}\)逆时针旋转\(120^{\circ}\) 得 \(\overrightarrow{BP}\) :
\(\overrightarrow{BP}=2\left( \cos\alpha-i\sin\alpha\right)\left( \cos\frac{2\pi}{3}+i\sin\frac{2\pi}{3}\right)=\sqrt{3}\sin\alpha-\cos\alpha+i\left( \sin\alpha+\sqrt{3}\cos\alpha\right)\)
\(\overrightarrow{OP}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{BP}=\sqrt{3}\sin\alpha-\cos\alpha+i\left( 3\sin\alpha+\sqrt{3}\cos\alpha\right)\)

由此便得到 P 点关于 \(\alpha\) 的参数方程，消去参数即得直角坐标方程:
\(\begin{cases}
x=\sqrt{3}\sin\alpha-\cos\alpha\\
y=3\sin\alpha+\sqrt{3}\cos\alpha
\end{cases}\Rightarrow\begin{cases}
\cos\alpha=\frac{\sqrt{3}y-3x}{6}\\
\sin\alpha=\frac{y+\sqrt{3}x}{6}
\end{cases}\Rightarrow\frac{\left( \sqrt{3}y-3x\right)^2}{36}+\frac{\left( y+\sqrt{3}x\right)^2}{36}=1\)
\(\Rightarrow3x^2-\sqrt{3}xy+y^2-9=0\)

P 点轨迹是椭圆:

Ysu2008

天山草 发表于 2025-3-15 15:32
P 点轨迹的直角坐标方程如下：

用直角坐标方程画的曲线如下。对于主帖的问题，曲线只取第一象限。

\(\angle AOC=\theta\) 不是极角，\(\angle AOP\)才是极角.

天山草

天山草

把直角坐标方程转换为极坐标方程后，再画极坐标下的曲线：