每个人都应该知道的拓扑学强大定理

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每个人都应该知道的拓扑学强大定理

原创 围城里的猫 MathSpark 2025 年 03 月 11 日 陕西

你是否知道，在任何时刻，地球上总有至少一个地方的风完全静止？

这是因为：在任意时刻，地球表面上存在一对正好相对的点，它们具有完全相同的气压！

我们可以证明这一点并不是通过物理定律，而是通过数学。更准确地说，这些事实以及更多类似现象，实际上都基于拓扑这一数学学科中更普适的结果。

拓扑学的魅力和力量在于它为我们提供了非常有用的定理。一些最有趣的定理告诉我们需要满足某些属性或者条件，却但却没有告诉我们如何找到它们。

布劳威尔不动点定理

这是代数拓扑中最具影响力的结果之一，称为布劳威尔不动点定理（Brouwer fixed point theorem）。它在 20 世纪初被证明，后来成为许多重要理论的基石，广泛应用于经济学、博弈论、化学，甚至流体力学等领域。

在以更易于理解的方式介绍这个定理之前，先看看它更正式的表述：

对于任何连续函数 f ，将一个非空、紧致且凸的集合映射到其自身时，一定存在一个点 x ，使得 f(x)=x 。

这样的点被称为“不动点（fixed point）”。

让我们稍微回顾一下并尝试理解这一点。首先，这个定理的这一版本并没有说明关于集合所包含元素的任何内容。

一般而言，我们所说的是在任意维度的欧几里得空间（“平坦”空间）中的一个子集。这里所说的“紧”意味着它是闭且有界的。通俗来讲，它包含它的边界（极限点），并且拥有有限的面积。而“凸”意味着在该空间中连接任意两个点的线段都完全处于该空间内部。这也暗含了连通性！

一个典型的例子是圆盘或 n 维球体。

此外，还有一个更一般的结论：只要一个集合与一个闭球同胚（并且该集合也必须是闭的、有界的且连通的，但不一定是凸的！），那么该定理也适用。

这个定理之所以如此重要，是因为它引发了数学中一个全新的研究方向，以及众多其他不动点定理。不过，这依旧可以被视作其中最基础的一个。

约翰·纳什（John Nash）曾利用该定理证明了他著名的纳什均衡（Nash equilibrium）的存在性，并因此获得了诺贝尔奖。


约翰·纳什

这个定理更有趣的一个应用是：

假设有两张纸，上面印有相同的图案，并且最初它们完全重叠放置。如果将上面那张纸随意揉皱并变形，然后再次放到下面那张纸上，那么根据布劳威尔不动点定理，一定存在至少一个点，使得上面纸张的该点与下面纸张的对应点正好对齐。

请注意，只要不把纸撕开或剪开，不管你怎样揉皱和变形，这个结论始终成立！



尝试在一些特殊情况下证明这个命题，或者如果你愿意挑战自己，也可以在更一般的情形下去证明它——这是一个非常有趣的练习。在一维情形中，证明就要简单得多，因为它与中值定理的原理非常相似。

我们知道，在这个定理所讨论的集合中，它必须是闭的、有界的且连通的。在最简单的情况下，这个集合就是一个闭区间，并且在一个连续函数的作用下映射回自身。当我们将这个函数绘制成图像时，就会得到类似下面的示意图：



很明显，由于它必须与对角线相交（或接触），所以函数将一个点映射到其自身。

毛球定理（The Hairy Ball Theorem）

数学家常用一句话来表达这个定理：

“你无法梳平一颗毛茸茸的球。”

这意味着你无法将其完全梳直而不留下任何旋涡或不连续点。

事实上，这一结论最早由传奇数学家昂利·庞加莱（Henri Poincaré）在 1885 年严格证明，并且后来得到了更广泛的推广。


庞加莱

为什么我们要关心毛球问题呢？

实际上，虽然这个问题听起来似乎没有太大实际意义，但许多看似“无用”的数学结论，最终都在科学和工程领域找到了重要的应用。

在给出这个定理的数学表述之前，让我们先看看它的正式陈述：

在任何 2n 维球面上，不存在处处非零的连续切向量场。

这里 n 表示一个自然数，因此 2n 可以是任何正的偶数。这意味着，对于一个偶数维的球面，如果定义了一个连续的切向量场，则必定存在至少一个点，其向量为零。

首先，我们需要理解什么是连续切向量场。

一个向量场本质上是一个函数，它给维欧几里得空间中的每个点都分配一个向量。在这种情况下，我们可以将维欧几里得空间看作通常的坐标系，其中一个点有个实数坐标。

切向量的概念意味着这些向量可以沿着曲面（流形）进行移动，并且由于连续性，两个相邻点的向量不会发生剧烈变化。

如果这些数学概念比较抽象，可以这样理解：

● 想象在一个二维球面（如地球表面）上定义一个风场，即每个点上都有一个风速与风向。毛球定理告诉我们，在这个球面上，至少有一个点风速为零（无风点）。

● 由于空气的运动本质上符合流体力学，因此这个结论同样适用于地球上的大气运动。这意味着无论风如何变化，地球上总有至少一个无风点！

● 进一步推广到高维空间，该定理仍然成立。例如，在五维宇宙中，如果某些行星的表面是四维球体，那么它们的“风场”同样满足这一定理。

此外，研究该定理背后的数学原理时，我们会发现一个有趣的事实：甜甜圈（环面）可以被梳理整齐！ 这意味着我们可以在环形太空站上保持稳定的空气流动，未来人类或许可以在甜甜圈形状的太空站中利用这一原理来调节气流！



这引出了一个问题：哪些形状符合这一特性？它们的判定标准是什么？

我鼓励你自己去探索这个问题，因为其中涉及的内容相当丰富。不过，我可以告诉你，决定性因素是该形状的欧拉示性数（Euler charact-eristic）。

这个定理在物理学、计算机图形学和工程学中有着广泛的应用，尽管它们与毛球或风流场似乎没有直接关系。我鼓励你在有空的时候查阅相关资料，进一步了解这个有趣的数学定理！

Borsuk-Ulam 定理

这是数学中最有趣、最令人惊讶的定理之一。

谁能想到，在地球赤道上，总存在一对对跖点（数学上称为 antipodal points），它们的温度完全相同？

或者说，地球表面上总有一对对跖点，它们具有相同的温度和气压。这一结论在任何时刻都成立！但我们如何知道这一点？这是一个很好的问题。

这个定理被誉为代数拓扑的皇冠明珠之一，与毛球定理和布劳威尔不动点定理一样，它的适用范围远不止我们的地球。完整的定理表明，类似的结论适用于所有维度的球面！

需要澄清的是，在球面上，如果两个点位于球心的正相反方向，则称它们为对跖点（antipodal points）。

Borsuk-Ulam 定理

任意从 n 维球面映射到 n 维欧几里得空间的连续函数，总会将某一对对跖点映射到同一个点。

很有趣的一点是，我们可以在完全不知道如何找到这两个“等价”点的情况下证明这个定理。然而，现代数学已经发展出了寻找这些点的技术。但实际上，我可以让你决定球面上的所有值，并且每纳秒都让你改变它们，而唯一的要求只是连续性，然而我仍然能够百分之百确定，在任何时刻，总会存在两个这样的点，它们的数值完全相同…… 这太神奇了！

这三个定理是代数拓扑的基本定理之一。当然，还有许多其他有趣的定理，而这只是我精选的前三个。

在未来，也许这些定理还会有更多的应用，谁知道呢？好了今天就到这儿吧。



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