小乐数学科普：数学家们无法停止思考的 9 个未解之谜——科学美国人数学未解难题集锦

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小乐数学科普：数学家们无法停止思考的 9 个未解之谜——科学美国人数学未解难题集锦

9 位数学家讨论了数学中的一些最引人注目的 9 个未解问题。——译自科学美国人 Scientific American 官网。

作者：Rachel Crowell（数学科普作家）2025-3-10

编辑：Clara Moskowitz（科学美国人高级主编）

译者：zzllrr 小乐（数学科普公众号）2025-3-11

配图：互联网

数学家有时将他们的研究视为一座花园，将未解决的问题视为等待发芽的种子。有些问题类似于郁金香球茎。当数学家们努力解决它们时，它们可能看起来停滞不前，被困在地下，让旁观者怀疑它们是否会产生令人眼花缭乱的结果。然而，如果它们最终长成花朵，它们的光芒将使整个花园充满生机。

其他未解数学谜题类似于树枝。树木本身——数学这一更广泛学科内的领域——坚固而高耸，扎根于既定发现。树枝代表着树木成长的机会——扩大领域——而逐一解决这些问题会将树木推向天空。

还有一些悬而未决的问题就像土壤——一种看似普通的数学材料，却将看似不同的植物——数学领域——连接起来，并有助于滋养整个花园。

我们询问了一些数学家，目前他们最感兴趣的开放性问题是什么，以及解决这些问题可能带来什么影响。他们的回答如下。

1、存在奇完美数吗？

我最喜欢的问题也是数学中已知的最古老的问题：奇数完美数存在吗？完美数是其真因数之和，例如 6 = 3 + 2 + 1 或 28 = 14 + 7 + 4 + 2 + 1 。所有已知的完美数都是偶数。

偶数完美数也很有趣，因为它们与已构造的最大素数（即梅森素数 M136279841 ，译者注，参阅小乐数学科普：GIMPS 最新发现已知最大素数——2^136279841-1（第 52 个梅森素数 M136279841 ） ）相关。

这个问题之所以引人注目，是因为人们甚至不知道会发生什么。我相信存在奇数完美数，但它们非常非常大，只要巧妙地搜索，就能在未来 100 年内找到一个。

这项努力并非完全没有希望。有办法巧妙地在大量数字中搜寻。


——奥利弗·尼尔（Oliver Knill）哈佛大学

2、我们可以多高效地分解整数？

为了便于讨论，假设整数 n 是两个素数 p 和 q 的乘积。如果我把 n 写出来（比如说以十进制表示），你如何恢复 p 和 q ？有什么可以编写计算机程序来完成这项任务的高效通用算法？

（“高效”是指算法的运行时间应随着 n 的大小适度增长，比如说随着位数线性或二次增长。）我们知道一些低效的算法，例如试除法（只是逐个检查素数），但这些算法的运行时间呈指数增长（或近乎如此）。

实践中，我们根本无法对数百位数字的随机整数进行因式分解。这是不可能的吗？还是我们只是缺少一个伟大的新想法？这个问题有许多令人着迷的方面：它非常简单，和整数本身一样古老。它似乎非常困难。现在解决它将颠覆世界。

最后一点：我们的许多现代加密协议都是基于假定的因式分解难度。当你的计算机连接到安全网站时，系统会以伪装的形式发送或接收秘密信息。

要揭示它似乎需要对一个非常大的整数进行因式分解——没有人知道如何做到这一点（没有量子计算机的情况下）。现在找到一种有效的算法可能会立即对自己的生活以及全球经济造成严重破坏。那么我们真的想解决这个问题吗？

任何有吸引力的未解问题都可以作为研究的试金石，这个问题也不例外。如果未发现与数论的许多基本方面的联系，就不可能对这样的问题进行深入研究。

算法问题有一种非常明确的意义：要么你能分解这个大数，要么你不能。也许我们永远也解决不了它，但乐趣就在于探索。


——凯瑟琳·斯坦奇（Katherine Stange）科罗拉多大学博尔德分校

3、库默-范迪弗猜想（Kummer-Vandiver 猜想）

令我着迷的未解数学问题之一是数论中的库默-范迪弗（Kummer-Vandiver）猜想。它涉及类数（class number）的可分性，这反过来又反映了对素数进行唯一分解的失败。

早期，当我们学习数字时，我们学习如何通过将它们分解为质因数来将它们分解成基本块，并且我们发现了一个美妙的事实：对于任何整数，这种分解都是独一无二的。例如，18 = 2×3×3 ，这是将其分解为质因数的唯一方法。

当我们进入更抽象的数字系统时，其中可能包括虚数，唯一分解可能会失败。例如，如果我们在数字系统中包括虚数√-5，我们可以看到 6 = 2×3 ，但也会发现 6 = (1+√-5)(1-√-5) ，这也是一种分解（分解为不可约因子的乘积），不可约因子即在我们的数字系统中无法进一步分解的因子。

数字系统的“类数”衡量唯一分解的失败程度。类数 1 表示分解为素数是唯一的，而更高的类数表示数字可以分解为不可约因子的多种方式。

分圆域（cyclotomic field）是一种数字系统，它通过包含某些虚数而获得，这些虚数是 1 的根——其幂等于 1 。

这些数字可以被认为是圆上的点，乘法使它们绕圆旋转。这些数字系统存在于复数中，但可以考虑它们的极大实子域（maximal real subfield），即处于实数域中的部分。

19 世纪中叶，恩斯特·库默（Ernst Kummer，1810 - 1893）在写给利奥波德·克罗内克（Leopold Kronecker，1823 - 1891）的信中首次猜想：对于任何奇素数 p ，p 都不能整除 p 次分圆域的极大实子域的类数——换句话说，分圆域就是当我们将 1 的 p 次根与有理数结合时得到的数字系统。

库默猜想仍未得到证实。哈里·范迪弗（Harry Vandiver，1882 - 1973）在 20 世纪初重新发现并推广了这一猜想。如今，这一悬而未决的问题被称为库默-范迪弗猜想，有时也简称为范迪弗猜想。

库默亲手验证了 200 以内的素数的这一猜想，范迪弗后来又验证了 600 以内的素数的这一猜想。

借助现代计算技术，数学家们已经验证了 20 亿内的素数的这一猜想。当然，这并不能证明猜想的正确性——它只是意味着如果存在反例，它将涉及一个比当前计算极限更大的素数。

我发现这个猜想最吸引人的地方是它与代数 K-理论有着惊人的联系，代数 K-理论是丹尼尔·奎伦（Daniel Quillen，1940 - 2011）在 70 年代开发的一个高度抽象的数学领域，乍一看似乎与数论中如此具体的问题无关。


—— 莫娜·梅林（Mona Merling）宾夕法尼亚大学

4、如何构造有趣的代数子簇

我从事代数几何研究，特别是复代数几何。代数簇（algebraic variety）定义为给定多项式方程的零点集（zero locus，方程取值为零的点集）。

我们面临的最重要的问题是：如何构造给定代数簇的有趣代数子簇？当然，这里重要的精度是“有趣”，因为我们总是可以通过简单地添加额外的方程来构造子簇，但它们会“无趣”。

霍奇猜想由霍奇（W.V.D. Hodge，1903 - 1975）在 20 世纪中叶提出，并由亚历山大·格罗滕迪克（Alexander Grothendieck，1928 - 2014）在 1960 年代末修改为广义霍奇猜想。

如果这些猜想属实，那么它们将使霍奇结构这一极其优美且结构良好的理论成为拓扑学和代数几何之间的完美桥梁。尽管它们的表述需要一些复杂的知识，但它们具有很强的预测能力，并且可以在非常简单的实例上进行测试。

例如，广义霍奇猜想预测在 d 次超曲面中存在大量有趣的曲面，这些曲面由至少 2d 维的射影空间中一个 d 次方程定义。这个小的特殊情况不需要借助任何拓扑概念就可以表述出来，除了非常小的 d 值之外，它是完全开放的。

关于霍奇猜想本身，基本上只知道一种情况，即余维为 1 的子簇的情况。证明非常简单，但也非常深刻，不能推广到更高的余维。


——克莱尔·瓦赞（Claire Voisin）法国国家科学研究中心（CNRS）

5、即使研究了数千年，丢番图方程仍然极其困难

在学校，我们学习到二次方程 ax^2 + bx + c = 0 的解是：



当我们超越这个众所周知的案例时，我们解决甚至理解代数方程的能力令人惊讶地有限，尽管对代数方程的思考（痴迷地）在历史上一直是发展深广思想体系的极其肥沃的土壤。

例如，写出 x^5 - x + 1 = 0 等简单方程的解的困难导致了群论的出现，如果没有群论，现代理论物理学的很大一部分（其广泛依赖于对对称性的系统理解）就不可能实现。

我的大部分职业生涯都在思考多了一个未知数的代数方程，例如 y^2 = x^5 - x + 1 。大多数时候，如果有人给你一个这样的方程，你很难找到该方程的所有有理数解。（如果你有尝试的习惯，你可能已经找到了特殊解 x=1 , y=1 。）

然而，该领域的主要问题并不涉及任何单个方程，甚至不涉及一整类方程。这听起来很像计算机科学：

构建一个计算机算法，将任何这样的方程作为输入并写下所有有理解：

            f(x,y) = 0 → DE 算法 → { f(x,y) = 0 的所有有理解}

这里的“DE”是丢番图方程（Diophantine equation）的缩写，以一位埃及数学家的名字命名，他的书使这种有理解的研究变得流行起来。因此，关键的挑战是构建这样一个 DE 算法，这听起来很简单，但结果却异常困难。

DE 算法问题涵盖了 BSD 猜想（Bryan John Birch 和 Peter Swinnerton-Dyer 猜想）的一个关键部分。而 BSD 猜想的解决将获得 100 万美元的奖金。

事实上（根据 Gerd Faltings 格尔德·法尔廷斯定理）大多数二元方程只有有限多个有理解。奇怪的是，在大多数情况下，我们不知道该如何找到这个有限集。

DE 算法问题包括人类已知的最古老的数学难题，世界各地的人们已经研究了数千年。因此，我对人们所知甚少感到震惊。也许人类的智力还不足以解决这一问题。


——金明迥（Minhyong Kim）ICMS 国际数学科学中心

6、四维多面体可以有多少个面？

我喜欢研究多面体（polyhedron ，具有平坦侧面的三维形状）。我对“度量”问题，即体积或侧面面积的问题不太感兴趣。我对多面体的“组合”感兴趣——即顶点（角）、边和面如何组合在一起。

你可能听说过柏拉图立体（Platonic solid），这是一种三维多面体，所有边都是全等多边形，并且在每个顶点处相交的边数相同。（想想立方体和十二面体。）

但还有更多有趣的形状可以算作三维多面体，它们在最优化和图论等应用中发挥着重要作用。

这些应用源于这样一个事实：三维多面体可以描述为一组三个变量的线性不等式的解。但这些应用通常不止三个变量。那么四个变量呢？我们称这种东西为四维多面体。

也许你听说过超立方体？它有时被描绘成一个立方体中的立方体，相应的顶点连接起来。四维多面体有顶点、边和二维面。它们还有三维面；我把它们称为面（facet）。四维多面体可以有多少个面？

关于三维多面体的一个基本问题是它们可以有多少个顶点、边和面？这个问题有一个完整的答案，一百多年前由斯坦尼茨（Ernst Steinitz，1871 - 1928）发现。

如果 v 、e 和 s 分别代表三维多面体的顶点、边和面的数量，那么 v - e + s = 2 ，v 和 s 都至少为 4 ，2e≥3v ，2e≥3s 。值得注意的是，如果你给我满足这些条件的任意三个整数，我就可以构建一个具有 v 个顶点、e 条边和 s 个面的多面体。

假设一个四维多面体有 v 个顶点、e 条边、s 个二维面和 f 个面。存在一些条件，例如：v-e+s-f=0 、v≥5 、f≥5 、2e≥4v 、2s≥4f 和其他一些条件。但我们不知道完整的集合。

我可以给出一组整数，它们满足我们已知的所有条件，但没有相应的四维多面体。我们甚至无法猜测完整的条件集是什么。我们确实知道完整的集合必须满足一些非线性不等式。

这些数字的另一个优点是具有一定的对称性。给定数字列表 v、e、s 或 v、 e、s、f ，我们可以反转它们并得到另一个多面体的数字。例如，十二面体的 v=20 、e=30 、s=12 ，而二十面体的 v=12 、e=30 、s=20 。超立方体的 v=16 、e=32 、s=24 、f=8 。另一个四维多面体，即十字多面体（cross-polytope）的 v=8 、e=24 、s=32 、f=16 。

四维多面体有多少个面这个问题困扰了我几十年。


——玛格丽特·拜耳（Margaret Bayer）堪萨斯大学

7、HRT 猜想

1996 年，克里斯托弗·海尔（Christopher Heil）、贾亚库玛·拉马纳坦（Jayakumar Ramanathan）和潘卡·托皮瓦拉（Pankaj Topiwala）提出了现在被称为“HRT 猜想”的海尔-拉马纳坦-托皮瓦拉猜想。他们指出，实数轴上非零平方可积函数的任何有限时间频率偏移集都是线性独立的。

HRT 猜想看似简单，因为它使用了线性代数中的线性独立（linear independence）概念。因此，HRT 猜想很容易表述，但极难解决。简单来说，如果得到零向量的唯一线性组合是所有系数都为零的平凡向量，则有限向量集是线性独立的。

对于 HRT 猜想，这些向量是由基本运算生成的函数：固定函数的时频偏移。具体而言，非零函数 g 与平面上一点 (p,q) 的时频偏移，是将 g 平移第一个坐标 p ，并将结果乘以频率为 q 的复指数函数后得到的函数。

到目前为止，HRT 猜想的进展有限，尚未对其有效性给出明确的答案。此外，已知的针对该猜想特殊情况的解决方案采用了来自不同数学领域的工具，通常分为两类。

第一类是限制平面中用作时频参数的点，而函数是任意选择的。例如，当点是从格中选择时，猜想是正确的，当处理任何三个不同的点时，这一条件始终成立。

第二类是限制函数，而点集仍然是任意的。还有其他情况，对函数和点集都施加了限制。然而，即使处理任意非零平方可积函数和平面中任意四个不同点的集合，该猜想仍未得到证实。


——卡索·阿科查耶·奥库茹（Kasso Akochayé Okoudjou）塔夫茨大学

8、Schoenflies 舍恩弗里斯问题

令人惊讶的是，我们竟然不知道以下问题的答案：空间中光滑的球面会束缚住球吗？这就是所谓的 Schoenflies 舍恩弗里斯问题。

诀窍在于球面可以是任何维度（例如，一维球面是一个圆，二维球面是三维球体的通常表面），且能够光滑地处于大一维的空间内。

我们确实知道，当周围空间有四维以外的任何维度时，这个问题的答案是肯定的。但对于四维空间中的光滑三维球面，这个问题仍然开放。

我发现在已解数值中间出现间隙令人不安。有人可能会想，“答案肯定是肯定的。为什么第四维会与所有其他维度不同？”

另一方面，四维拓扑通常与其他维度空间的研究不同。例如，有无数不同的光滑四维对象连续但不光滑地等价于标准四维空间。这在任何其他维度都不会发生。

我大胆猜测，在四维空间中，舍恩弗里斯 Schoenflies 问题的答案是“否”——这将非常令人兴奋，也意味着我不知道从哪里开始，因为情况与之前的所有情况都不同。


—— 玛吉·米勒（Maggie Miller）德克萨斯大学奥斯汀分校

9、3-流形中扭结之间的距离

我研究三维流形，即放大时看起来像三维欧几里得空间，缩小时却具有更多结构的空间。打个比方，当你放大球面时，它看起来像一个平面，但当你缩小球面时，你会发现它具有更多结构。

在扭结理论（knot theory ，也称纽结理论、结论）中，人们研究三维空间中的扭结环（knotted loop ，因此没有松散的末端），其中包括 8 字结和三叶结（trefoil knot）等例子。

直接可视化三维流形可能很困难，因为它们不适合三维空间。然而，因为它们从内部看起来像三维空间，所以你仍然可以谈论诸如扭结之类的东西，并问：在这些新设置中扭结会有多大的不同？

我真正感兴趣的一个问题是其他三维流形中的扭结与三维空间中的扭结之间的距离。在我的领域，人们通常通过扭结之间的曲面复杂程度来测量扭结之间的距离。

令我惊讶的是，尽管三维空间中的扭结种类繁多，但我们已经证明，三维流形中的扭结需要非常复杂的曲面才能到达三维空间中的任何扭结。

同时，许多扭结都是专为适合我们的技术而构建的，对于任意扭结，我们还有很多东西要学才能回答这个问题。


——塞波·尼米·科尔文（Seppo Niemi-Colvin）印第安纳大学布卢明顿分校

参考资料

https://www.scientificamerican.c ... ies-in-mathematics/

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