数学家｜早慧少年篇 A. N. 柯尔莫哥洛夫（A. N. Kolmogorov）系列

luyuanhong

数学家｜早慧少年篇 A. N. 柯尔莫哥洛夫（A. N. Kolmogorov）系列

原创  亲切的桃子 亲切的桃子 2025 年 03 月 16 日 浙江

俄罗斯诗人普希金（Alexander Pushkin，1799-1837）曾说:「尽管手段截然不同，但他对年轻人和俄罗斯民俗的影响比整个教育部还要大」。柯尔莫哥洛夫对数学的影响亦是如此。—— V. I. Arnol'd（柯尔莫哥洛夫学生）

苏联现代数学的奠基人

Andrey Nikolaevich Kolmogorov 安德雷·尼古拉维奇·柯尔莫哥洛夫，是 20 世纪最伟大的数学家之一，也是苏联现代数学发展的奠基人之一，他于 1903 年 4 月 25 日出生，于 1987 年 10 月 20 日去世。

Nicolas Bourbaki 学派在描述其数学规划的文章《数学的架构（The Architecture of Mathematics）》中遗憾地指出，「即使是在那些接受过最广泛训练的数学家中，也没有人能在浩瀚数学世界的某些领域不感到迷茫；像 H. 庞加莱（Henri Poincaré，1854-1912）和 D. 希尔伯特（David Hilbert，1862-1943）那样，几乎在数学的每个领域都留下天才印记的人，即便在成就非凡的人当中，也是极为罕见的例外。」

而现在，柯尔莫哥洛夫也是完全有理由加入到这个名单中的。


80 岁生日的 A. N. Kolmogorov（摄于 1983.4.25）

他所涉及研究的领域有：三角级数和正交级数、描述集合论、数理逻辑、测度与积分理论、拓扑学、逼近理论、几何学、天体力学、上同调理论、湍流理论、遍历理论、函数叠加、泛函分析……

除此之外，在概率论这个广阔的领域（马尔可夫链和过程、统计学、平稳过程等——柯尔莫哥洛夫从基础开始彻底改变了「概率论」这门学科）；信息论；自动机理论；还有更多——他在生物学、地球物理学、生产控制、射击理论、诗律理论等方面的众多应用成果。

当苏联科学院决定出版柯尔莫哥洛夫的论文集时，最初预计会出两卷，但如何分配材料交给作者本人来解决。

柯尔莫哥洛夫建议将其分为一卷「数学和力学」，另一卷「概率论和信息论」。这种划分反映了一个事实，即庞大的数学世界实际上可以分为两个王国，一个王国研究确定性现象；在另一个王国则研究随机现象。

柯尔莫哥洛夫是这两个「数学王国」发展的引领者。


英文版于 1991 年由 Springer 出版

1985 年、1986 年和 1987 年，苏联科学出版社（Nauka）出版了三卷安德烈·尼古拉耶维奇的选集（俄语版），其中包含他本人以及他的学生和追随者的评论：《数学与力学》、《概率论与数理统计》、《信息论与算法理论》

早慧之象

柯尔莫哥洛夫于 1903 年诞生于俄罗斯的村镇——坦波夫市（Tambov，靠近莫斯科东南约 420 公里）。

其父亲是农学家，毕业于莫斯科农业学院，因参加民粹运动流放到了雅罗斯拉夫尔省，在那里遇到了其母亲（玛丽亚·雅科夫列夫娜）。但玛丽亚在生柯尔莫哥洛夫时因难产离世。

柯尔莫哥洛夫最初几年是在他外公——雅科夫·柯尔莫哥洛夫家的庄园度过（可见姓随母亲），他的亲人致力于培养孩子的好奇心、对大自然和书籍的兴趣；柯尔莫哥洛夫后来回忆说他的童年很幸福。

柯尔莫哥洛夫家的三姐妹：玛丽亚、维拉和娜杰日达，都是具有崇高社会理想的独立女性，他们家里设有一个秘密印刷厂，在地下协助革命。有一次公寓被搜查，违禁书籍被藏在小柯尔莫哥洛夫的摇篮下才得以保存。

柯尔莫哥洛夫的二姨妈——维拉（Vera）及其好友在庄园附近创办了一所小学校，其宗旨是「依据最新的教育理念」。学校的孩子们在老师的帮助下，创办了《春之燕》杂志，刊登学生们的创意作品，包括绘画、诗歌和故事。


五岁的小柯尔莫哥洛夫和他二姨—— Vera Yakovlevna

小柯尔莫哥洛夫「负责」编辑杂志中的数学板块，并发表了第一篇「科学出版物」。他发现：1=1^2 、1+3=2^2 、1+3+5=3^2 、1+3+5+7=4^2 的规律，指出了前 n 个奇数的平方和等于数 n 的完全平方。

1910 年，7 岁的小柯尔莫哥洛夫正式被维拉姨妈收养并搬去了莫斯科，进入了一家 Е. А. Репман 学校。这个教育机构很特别：接纳外地人，男生和女生一起学习（不然柯怎么遇到他未来的妻子）；不唯考试成绩论，可以用公开论文答辩；如果孩子对某个科目表现出越来越大的兴趣，他可以和高年级一起学习。

柯尔莫哥洛夫每次自传回忆都会提到这所学校：「这是是由一群自由知识分子创办，是一家私立中学，老师是真正对科学感兴趣的人，采用了很多有趣的实验教学方法，有些甚至是大学教授。许多学生独立学习相互竞争，甚至用自己学习到的知识羞辱经验不足的老师。我们进行了一项实验，引入毕业生公开答辩期末论文（类似大学毕业论文）的传统。」

小柯尔莫哥洛夫，在老师没有时间教他就自己找布罗克豪斯和叶夫龙百科词典学习，还在业余时间写了关于牛顿力学定律的论文，可惜论文的原稿未能保存下来。到了 14 岁时，他已经学会高等数学。同时，他还对国际象棋、生物学、物理学、历史和社会学有着浓厚的兴趣。


布罗克豪斯和叶夫龙全书的一页

布罗克豪斯和叶夫龙百科全书，Brockhaus and Efron Encyclopedic Dictionary ，1890 年至 1907 年间在俄罗斯帝国出版的一部俄语百科词典，出版人为圣彼得堡的伊利亚·叶夫龙（Ilya Efron）和莱比锡的布罗克豪斯（F. A. Brockhaus），原书共 86 卷。

他后来说：「K. A. 季米里亚捷夫（1843-1920，达尔文支持者）的《植物的生命》让我第一次强烈感受到科学研究的力量和意义。」


《植物的生命》及其一页插图

特别是，他还思考过一个社群的宪法，希望在其中践行更高层次的正义原则。他确实起草了这样一份宪法文本，在 1917 年秋天还参加了制宪会议的选举。

柯尔莫哥洛夫回忆道：「1918 年至 1920 年间，莫斯科的生活并不容易，只有最坚持不懈的人才能在学校认真学习。这时我必须离开去修建喀山-叶卡捷琳堡铁路（乘务员工作）。我在工作的同时继续自学，准备参加高中结业考试。回到莫斯科后，我有些失望：他们甚至没有对我进行考试就给我颁发了结业证书。」

矢志选定

1920 年，柯尔莫哥洛夫在中学毕业后选择专业时犹豫不决，先进入了门捷列夫化工大学冶金系学习了几个月，最后进入莫斯科大学物理与数学系。（很多故事说他进入的是历史系，这是不准确的。）

「我一直没有放弃从事技术工作的想法；不知为何，我对冶金学很感兴趣。当时，技术被认为比纯科学更实用、更必要。」柯尔莫哥洛夫回忆道。

同时，他还继续学习历史，参加了莫斯科大学历史系巴赫鲁申教授（S.V.Bakhrushin ，1882-1950 ，苏联历史学家、中世纪学者）关于古代俄罗斯历史的研讨会。

在这个研讨会上，他基于对 15～16 世纪文献的分析发表了关于诺夫哥罗德土地财产登记的历史报告（诺布哥罗德-Novgorod ，以诺夫哥罗德为中心的城邦国家，位于今俄罗斯西北部）。


Removal of the bell. Marfa Boretskaya. Destruction of the Novgorod Veche. 1891 。描绘了历史事件：象征共和、主权的「维策」的大钟被拉走，诺夫哥罗德独立的希望破灭

这份历史手稿“Land Ownership in the Novgorod Country in the 15th Century”在他去世后被发现，于 1994 年出版后受到了专家们的高度评价。在这份手稿中，柯尔莫哥洛夫运用了一些统计方法（特别是贝叶斯公式）来得出他的历史结论（哈哈～～数学方法在历史研究中的应用）

对此，当年俄罗斯著名历史学家瓦连京·亚宁（Valentin Yanin ，1929-2020）评价道：「作为其研究方法的基础，作者提出了概率理论的应用，这一方法从未被运用到诺夫哥洛德地区财产注册的研究上，而且直至今日也未被广泛采纳。历史学界的这一遗憾正是源于学者们对柯尔莫哥洛夫七十年前这篇论文的忽视。」

在故事版本中，完成报告后的柯尔莫哥洛夫问巴赫鲁申教授是否同意他的结论。『年轻人』，巴赫鲁申教授说，『在历史学领域，你至少需要五个证明才能得出任何结论。』

于是，柯尔莫哥洛夫从此决定进入数学领域，因为在那里，一个证明足以得到结论。

历史学界或许因此失去了一位学者，但数学界却产生了一个数学大师。

亲切的桃子