L3 与 L1(1+t,1-t,2+t),L2(2+2s,5+s,6-s) 垂直相交，P,Q∈L1,L2 到 L3 距离 3，求 PQ

wintex

luyuanhong

luyuanhong

第 1 楼中的做法，是先求出与 L1,L2 都垂直的直线 L3 的方向向量 (0,1,1) 。

再求出以 (0,1,1) 为法向量、与 L1 平行且通过 L2 的平面 y+z=11（即第 2 楼图中的绿色平面）。

再求出从 L1 上的一点到平面 y+z=11 的距离，这个距离也就是第 2 楼图中 A,B 之间的距离 4√2 。

这还不是最后的答案，还需要进一步证明  PA,AB,BQ 这三段线段互相垂直，才能用勾股定理

最后求出 P,Q 之间的距离 5√2 （第 1 楼中没有将这一步写出来）。

wintex

luyuanhong 发表于 2025-3-24 20:19

請問陸老師：

luyuanhong

题 已知 PA,AB,BQ 这三段线段互相垂直，证明：PQ=√(PA^2+AB^2+BQ^2) 。

证  因为 PA⊥AB ，所以由勾股定理可知有

             PB^2=PA^2+AB^2 。

    又因为 PA⊥BQ ，AB⊥BQ，所以平面 PAB⊥BQ，所以 PB⊥BQ，由勾股定理可知有

          PQ^2=PB^2+BQ^2=PA^2+AB^2+BQ^2 。

    即有

            PQ=√(PA^2+AB^2+BQ^2) 。