一个有趣的函数——双曲函数

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一个有趣的函数——双曲函数

原创  Wittt ECONOMICS RULES  2025 年 03 月 19 日  重庆



今天给大家介绍一个有趣的函数：双曲函数（hyperbolic functions）。这个函数在工程学领域应用非常广泛。

该函数有很好的数学性质，和三角函数比较类似。在国内的数学教科书里面出现的比较少，最多出现在大学工科数学教材中。但在国外对这个函数非常重视，就如同对三角函数一样。

因为篇幅，本文只探讨最基本的几个双曲函数：sinhx / coshx / tanhx 。

这三个基本函数的定义如下：



这三个函数的图像如下：



很显然，双曲正弦（正切）函数为奇函数，双曲余弦函数为偶函数。这些函数有一些有趣的性质（可以和三角函数对比），比如：



这两个曲线有什么性质呢？你能将他们的图像画出来吗？这里我们可以充分利用对称性和奇偶性等函数性质来画图，但两个图形并不是想象的那么简单，尤其是第一个曲线的图形。要不然也不可能成为号称宇宙最难的大学入学考试的 step3（剑桥大学入学考试）的考题。2020 年就考了这个问题，题目如下：



这道题虽然只排在第二题，但其实很难。最后画这个曲线的图像，前面的第一问和第二问也给了提示，但这个提示相对来说比较隐晦，这大大的加大了本题的难度。感兴趣的读者可以尝试一下能不能做出来，注意画图要注意要把那些重要的点，如拐点、临界点、截距点等标注出来，还有就是单调性、凹凸性以及渐近线等。

下面我们可以用绘图软件画出一些基本的图，如下：



这个图还是蛮有趣的吧，有比较好的对称性。刚才看的那道题最难的点在于找到拐点和渐近线，不信朋友们可以试试看。

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