圆内接四边形 ABCD 与它的内切圆切于 E,F,F,G 四点，已知 FG=6，EF=7，EH=8，求 GH

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請問數學

天山草

找了一下有关双心四边形 (双圆四边形) 的定理，其中一个是富斯定理：一个大圆套一个小圆，两圆圆心不重合。如果大圆半径为 \(R\)，小圆半径为 \(r\)，两圆圆心距为 \(d\)，那么在两圆之间存在一个双心四边形 (即该四边形既外接于大圆，各边又是小圆的切线) 的充要条件是：
                            \(2r^2(R^2+d^2)=(R^2-d^2)^2\)。
双心四边形的其它一些定理：① 切点四边形的对角线互相垂直。
② 双心四边形的对边和相等。
③ 双心四边形的对角和等于 180 度。
④ 双心四边形的外接圆心、内切圆心、切点四边形对角线交点，三点共线。
重新画一个比较准确的该问题的图如下：

                                            

Future_maths

计算结果=\(\sqrt{51}\)

Future_maths

切点四边形的对角线互相垂直，这是解题的关键。

Future_maths

证明：双心四边形中的切点四边形的对角线互相垂直。

王守恩

Solve[{a^2 + b^2 == 6^2, c^2 + d^2 == 8^2, a^2 + c^2 == 7^2, b^2 + d^2 == GH^2, (a + d) (b + c) == 6*8 + 7 GH, 0 < a < b < c < d < GH}, {a, b, c, d, GH}]

{{a -> 21/5, b -> (3 Sqrt[51])/5, c -> 28/5, d -> (4 Sqrt[51])/5, GH -> Sqrt[51]}}

Solve[{a^2 + b^2 == 6^2, c^2 + d^2 == 8^2, a^2 + c^2 == 7^2, (a + d) (b + c) == 6*8 + 7 GH, a/b == c/d, 0 < a < b < c < d < GH}, {a, b, c, d, GH}]

{{a -> 21/5, b -> (3 Sqrt[51])/5, c -> 28/5, d -> (4 Sqrt[51])/5, GH -> Sqrt[51]}}

Solve[{a^2 + b^2 == 6^2, c^2 + d^2 == 8^2, a^2 + c^2 == 7^2, b^2 + d^2 == GH^2, a/b == c/d, 0 < a < b < c < d < GH}, {a, b, c, d, GH}]

{{a -> 21/5, b -> (3 Sqrt[51])/5, c -> 28/5, d -> (4 Sqrt[51])/5, GH -> Sqrt[51]}}

天山草

求第四条边 HG 的长度是  \(\sqrt{6^2 + 8^2 - 7^2} =\sqrt{51}\)。详细论证过程？

天山草

原来有这么一个定理：对角线互相垂直的四边形，其对边的平方和相等。证明如下：


因此，对于原题目而言，既然双心四边形的切点四边形对角线互相垂直，所以就有 \(GH^2+EF^2=FG^2+EH^2\)，即
  \(GH^2+7^2=6^2+8^2\)，故  \(GH=\sqrt{100-49}=\sqrt{51}\)。

Future_maths

证明：双心四边形中的切点四边形的对角线互相垂直。这个才是关键！

天山草

Future_maths 发表于 2025-4-26 16:21
证明：双心四边形中的切点四边形的对角线互相垂直。这个才是关键！