求椭圆 x^2／4+y^2=1 外的一点 P(2,3) 到椭圆上点的最短距离和最长距离

永远

求椭圆\({x^2} + 4{y^2} - 4 = 0\)外一点P(2，3)到椭圆的最短距离和最长距离。

Future_maths

利用拉格郎日乘子法很容易就计算出来。

ataorj

图1,单位圆横坐标膨胀一倍成题目椭圆,所以椭圆的[定长]为4,所以T为圆心,2为半径可得焦点坐标为Sqrt[3]
图2是解题示意图(比例等没和图1完全一致).
a=2√(4-√3),b=2√(4+√3),c=4,d=2√3
zz+(cc-(2y+z)^2)=dd
y/√(xx+yy)=(z+2y)/c
√(bb-(√(dd-zz)-x)^2)-z=√(aa-xx)
---------------
最近距离=√(aa-xx)-y
---------------
a=2*Sqrt[4-Sqrt[3]];b=2*Sqrt[4+Sqrt[3]];c=4;d=2*Sqrt[3];
Solve[{z*z+(c*c-(2y+z)^2)==d*d,
(c*y)^2==(x*x+y*y)(z+2y)^2.0,
b*b-(Sqrt[d*d-z*z]-x)^2==2z*Sqrt[a*a-x*x]+a*a-x*x+z*z},{x,y},z]
软件一直计算中,放弃.

永远

ataorj 发表于 2025-4-29 21:12
图1,单位圆横坐标膨胀一倍成题目椭圆,所以椭圆的[定长]为4,所以T为圆心,2为半径可得焦点坐标为Sqrt[3]
图2 ...

请问前辈图2中最短距离切线点处你是如何画图的，能否给出必要作图步骤。

ataorj

非尺规作图，我是切线上做出垂线，再任取一点伪为P而已。
另外我也有动态自动逼近近似作图，方法以后整理

luyuanhong

永远

luyuanhong 发表于 2025-4-30 01:07

陆老师好，不用拉格朗日乘子法，用高中的方法怎么求

shuxueren

永远 发表于 2025-4-30 08:30
陆老师好，不用拉格朗日乘子法，用高中的方法怎么求

Nicolas2050

P点(2,3)到椭圆x^2/4+y^2=1的最大距离的椭圆坐标是=（-1.82714203,-0.40667924）
P点(2,3)到椭圆x^2/4+y^2=1的最小距离的椭圆坐标是=（1.18859718,0.80424448）
P点(2,3)到椭圆x^2/4+y^2=1：
最大距离是=5.12371735,
最小距离是=2.34087950。