证明：椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 上到 P(m,n) 距离最大、最小点处的法线，必通过 P(m,n)

永远

证明：椭圆\(\frac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \frac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1,a > b > 0\)外一定点 \(p(m,n)\)到椭圆上任意一点距离最大距离或最小距离点处的法线必通过椭圆外的定点。

Future_maths

考察椭圆为圆的情况，可以轻松得到结论。

luyuanhong

Future_maths

用仿射变换将椭圆变换成圆。

luyuanhong

Future_maths 发表于 2025-5-5 08:38
用仿射变换将椭圆变换成圆。

仿射变换后，圆周上到 P 距离最小、最大的点，与仿射变换前，椭圆上到 P 距离最小、最大的点，不是同一个点。

永远

luyuanhong 发表于 2025-5-5 00:48

陆老师好，如果不用拉格朗日乘子法，有没有高中以内的方法？

kanyikan

以(m,n)为圆心作圆，与椭圆外切的点(x1,y1)到(m,n)的距离最短，与椭圆内切的点(x2,y2)到(m,n)的距离最长。
在(x1,y1)处椭圆与圆共一条切线和法线，点(x2,y2)也如此。
由于圆的法线必过圆心(m,n)，所以椭圆在(x1,y1)和(x2,y2)点的法线必过(m,n)。

luyuanhong

永远 发表于 2025-5-5 10:22
陆老师好，如果不用拉格朗日乘子法，有没有高中以内的方法？

如果不用　Lagrange 乘子法，像楼上 kanyikan 那样，用解析几何直观概念，也可以说明：

椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 上到 P(m,n) 距离最大、最小点处的法线，必通过 P(m,n) 点。

从这一结论出发，就可以得到 a^2(m-x)/x=b^2(n-y)/y ，再联立 x^2/a^2+y^2/b^2=1 ,

从理论上来说，就可以求出椭圆上到 P(m,n) 距离最大、最小点的坐标 (x1,y1) (x2,y2) 。

但是，联立 a^2(m-x)/x=b^2(n-y)/y ， x^2/a^2+y^2/b^2=1 ，会得到一个四次方程。

在一般的情况下（除非特殊情况，例如椭圆退化为圆），四次方程没有高中生可以理解的

简单的精确解法，所以，对于“在椭圆 x^2/a^2+y^2/b^2=1 上求到 P(m,n) 距离最大、最小点”

的问题，仅用高中知识，还是不可能精确求解的。