已知实数 x,y 满足 x^2+xy+y^2=1 ，求 x^2-3xy-2y^2 的最大值

wintex

天山草

wintex

天山草 发表于 2025-5-8 19:13

天仙草老師，解方程式的過程是？可詳細列出來嗎？

λ要加在條件式前，還是目標函數前，還是都可以？

波斯猫猫

题：已知实数 x,y 满足 x^2+xy+y^2=1 ，求 x^2-3xy-2y^2 的最大值.

思路：令x^2-3xy-2y^2=t-3，则x^2-3(1-x^2-y^2)-2y^2=t-3，

即4x^2+y^2=t  ( t＞0).  令2x=√tcosθ， y=√tsinθ ,

代入x^2+xy+y^2=1得，(√tcosθ)^2+2√tcosθ√tsinθ+4(√tsinθ)^2=4，

即3t(sinθ)^2+tsin2θ=4-t ，或sin(2θ-φ)=(8-5t)/(√13t) ,

或-1≤(8-5t)/(√13t)≤1. 解得8/(5+√13)≤t≤8/(5-√13)，故t-3≤(1+2√13)/3 .

cgl_74

2楼的做法呢，大致思路是ok的，成熟解法，但是逻辑上存在明显问题。
下面是知识点：
1、连续可导函数的最大值最小值，出现在导数零点或端点处
2、如端点是开区间，则看极限是多少，来判断是否有最大最小值。如果端点是闭区间，则必有最大值和最小值。

另外2楼的做法是解一个4次函数，估计是用计算机解的。考试的话一般解不出来。即使解出来，还要分析端点的情况，估计这个方法也搞不定。

cgl_74

我有一个解法，可以在考场上人为计算出来，另y/x =t，原最值化简为t的单元函数最值。当t = 3-13^0.5时取最大值，即2楼的2.73xxx。当t->无穷大时，最小值->-2。但取不到，要比较一下t=3+13^0.5时的值，这是最小值。
解法思路如下，我就不整理了。

luyuanhong

luyuanhong

楼上 波斯猫猫 的解答很好！已收藏。

波斯猫猫

题：已知实数 x,y 满足 x^2+xy+y^2=1 ，求 x^2-3xy-2y^2 的最大值.

思路2：由条件有(x+y/2)^2+3y^2/4=1，则令x=cosθ-sinθ/√3， y=2sinθ/√3 ,

代入m=x^2-3xy-2y^2，化简，整理得，m=(1±2√13)sin(2θ-φ)/3，

故(1-2√13)/3≤m≤(1+2√13)/3 .

思路3：令t=x^2-3xy-2y^2，则t=x^2-3xy-2(1-x^2-xy)，

或y=(3x-t-2)/x .代入 x^2+xy+y^2=1，化简，整理得

13x^4-(7t+15)x^2+(t+2)=0 .由双二次方程的判别式为非负

得（7t+15）^2-52（t+2）^2≥0，解得(1-2√13)/3≤t≤(1+2√13)/3 .

cgl_74

5楼对2楼的点评，同样适用于7楼陆老师的解答。