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已知实数 x,y 满足 x^2+xy+y^2=1 ,求 x^2-3xy-2y^2 的最大值

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发表于 2025-5-8 14:32 | 显示全部楼层 |阅读模式
本帖最后由 wintex 于 2025-5-9 08:05 编辑



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发表于 2025-5-8 19:13 | 显示全部楼层

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 楼主| 发表于 2025-5-8 21:19 | 显示全部楼层
本帖最后由 wintex 于 2025-5-8 21:51 编辑


天仙草老師,解方程式的過程是?可詳細列出來嗎?

λ要加在條件式前,還是目標函數前,還是都可以?
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发表于 2025-5-8 23:07 | 显示全部楼层
本帖最后由 波斯猫猫 于 2025-5-9 01:47 编辑

题:已知实数 x,y 满足 x^2+xy+y^2=1 ,求 x^2-3xy-2y^2 的最大值.

思路:令x^2-3xy-2y^2=t-3,则x^2-3(1-x^2-y^2)-2y^2=t-3,

即4x^2+y^2=t  ( t>0).  令2x=√tcosθ, y=√tsinθ ,

代入x^2+xy+y^2=1得,(√tcosθ)^2+2√tcosθ√tsinθ+4(√tsinθ)^2=4,

即3t(sinθ)^2+tsin2θ=4-t ,或sin(2θ-φ)=(8-5t)/(√13t) ,

或-1≤(8-5t)/(√13t)≤1. 解得8/(5+√13)≤t≤8/(5-√13),故t-3≤(1+2√13)/3 .

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謝謝波斯猫猫老師  发表于 2025-5-9 08:04
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发表于 2025-5-8 23:43 | 显示全部楼层
2楼的做法呢,大致思路是ok的,成熟解法,但是逻辑上存在明显问题。
下面是知识点:
1、连续可导函数的最大值最小值,出现在导数零点或端点处
2、如端点是开区间,则看极限是多少,来判断是否有最大最小值。如果端点是闭区间,则必有最大值和最小值。

另外2楼的做法是解一个4次函数,估计是用计算机解的。考试的话一般解不出来。即使解出来,还要分析端点的情况,估计这个方法也搞不定。
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发表于 2025-5-8 23:50 | 显示全部楼层
本帖最后由 cgl_74 于 2025-5-8 23:54 编辑

我有一个解法,可以在考场上人为计算出来,另y/x =t,原最值化简为t的单元函数最值。当t = 3-13^0.5时取最大值,即2楼的2.73xxx。当t->无穷大时,最小值->-2。但取不到,要比较一下t=3+13^0.5时的值,这是最小值。
解法思路如下,我就不整理了。

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呐闷要用导数,判别式不香吗  发表于 2025-5-10 09:44
謝謝cgl_74老師  发表于 2025-5-9 08:05
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发表于 2025-5-9 01:28 | 显示全部楼层


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陆教授这个结果是最简的!  发表于 2025-5-9 11:38
謝謝陸老師  发表于 2025-5-9 08:04
113100  发表于 2025-5-9 08:04
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发表于 2025-5-9 06:35 | 显示全部楼层
楼上 波斯猫猫 的解答很好!已收藏。
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发表于 2025-5-9 12:53 | 显示全部楼层
题:已知实数 x,y 满足 x^2+xy+y^2=1 ,求 x^2-3xy-2y^2 的最大值.

思路2:由条件有(x+y/2)^2+3y^2/4=1,则令x=cosθ-sinθ/√3, y=2sinθ/√3 ,

代入m=x^2-3xy-2y^2,化简,整理得,m=(1±2√13)sin(2θ-φ)/3,

故(1-2√13)/3≤m≤(1+2√13)/3 .

思路3:令t=x^2-3xy-2y^2,则t=x^2-3xy-2(1-x^2-xy),

或y=(3x-t-2)/x .代入 x^2+xy+y^2=1,化简,整理得

13x^4-(7t+15)x^2+(t+2)=0 .由双二次方程的判别式为非负

得(7t+15)^2-52(t+2)^2≥0,解得(1-2√13)/3≤t≤(1+2√13)/3 .
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发表于 2025-5-9 13:13 | 显示全部楼层
本帖最后由 cgl_74 于 2025-5-9 13:34 编辑

5楼对2楼的点评,同样适用于7楼陆老师的解答。
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