经典奥数问题 —— 魔法学院的魔法课

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经典奥数问题 —— 魔法学院的魔法课

原创  小猿科普  小猿科普  2025 年 03 月 21 日 07:15  北京

魔法学院本学期开设飞行课、魔药课、占卜术三门课。期末考试三门课满分为 300 分，且考试成绩都是整数，哈利总分的 4/7 和罗恩总分的 3/5 相等，则两人的总分最多相差多少分？

本题难度：

中等（☆☆）

问题解析：

本题是一道有趣的转化单位“1”问题，出自 2024 年希望杯全国数学邀请赛，难度适中，感兴趣的同学可以尝试一下。

题目已知哈利总分数的 4/7 与罗恩总分数的 3/5 相等。但这里 4/7 与 3/5 是分别基于两个单位“1”计算的。要想知道哈利与罗恩之间分数的比例关系，需要先统一单位“1”。如图所示。



如图所示，假设哈利的总分数为单位“1”，那么 4/7 就可作为罗恩总分数 3/5 的已知量。用已知量除以对应分率得到的就是以哈利总分数为单位“1”的前提下，罗恩的总分数。

4/7÷3/5=20/21，也就是说如果哈利总分数为 1 ，则罗恩的总分数为 20/21 ，即罗恩的总分数是哈利的 20/21 。

现在已知罗恩的分数一定是哈利的 20/21 ，这个比例是恒定不变的。所以罗恩与哈利的总分数相差了哈利总分数的1-20/21=1/21 。现在要计算哈利与罗恩总分数最多相差多少分，因此这个差值取决于哈利的总分数，哈利总分越高，则两人的分数差越大。

因为三门课程总分数是 300 分，所以理论上哈利得满分时两人分数差最大。即 300×1/21，但是这个值不是整数，而题目又要求每个人的分数都是整数。所以 300×1/21 并不是本题的答案。

于是我们可以从 300 分开始，从大到小逐一计算，当这个分数乘以 1/21 为一个整数时，即为本题的答案。

不难求出，当哈利总分为 294 分时，两人相差 294×1/21=14 分，此时两人得分都是整数，并且两人相差分数最大。

小猿科普