\(\Huge^\star\color{green}{\;\mathbb{N}\textbf{没有无穷元}}\)

elim

【定义】非\(0\)非后继的序数叫极限序数,
\(\qquad\)记 \(\omega\) 为最小极限序数.
【引理】最小无穷序数必为极限序数
【证明】若无穷数 \(\beta=\alpha\cup\{\alpha\}\), 则 \(\alpha\)也是无穷
\(\qquad\)序数. 故\(\beta\) 不是最小无穷序数. \(_\blacksquare\)
【定理】\(\mathbb{N}\)是最小无穷序数.
【证明】由冯诺依曼构造及\(|{\small\mathbb{N}}|\small=\aleph_0\)知\(\small\mathbb{N}\)是无穷
\(\qquad\)序数. 据皮亚诺公理, \(\mathbb{N}\)之前没有极限序数.
\(\qquad\)故由引理知\(\,\mathbb{N}\,\)是最小无穷序数并且\(\mathbb{N}=\omega.\; _\blacksquare\)
【推论】自然数皆小于最小无穷序数因而皆有限
\(\qquad\)lim n 大于任一自然数因而不是自然数