\(\huge^\star\color{red}{\textbf{ 不存在}}\color{navy}{\textbf{无穷大自然数}}\)

elim

  Cantor 指出自然数是有限集的基数故有限. 另外,
【定义】无穷序数具有无穷基数的序数. 而非\(0\)非
\(\quad\)后继的序数叫极限序数. 记 \(\omega\) 为最小极限序数.
【引理】最小无穷序数必为极限序数
【证明】若无穷数 \(\beta=\alpha\cup\{\alpha\}\), 则 \(\alpha\)也是无穷
\(\qquad\)序数. 故\(\beta\) 不是最小无穷序数. \(_\blacksquare\)
【定理】\(\mathbb{N}\)是最小无穷序数.
【证明】由冯诺依曼构造及\(|{\small\mathbb{N}}|\small=\aleph_0\)知\(\small\mathbb{N}\)是无穷
\(\qquad\)序数. 据皮亚诺公理, \(\mathbb{N}\)之前没有极限序数.
\(\qquad\)故由引理知\(\,\mathbb{N}\,\)是最小无穷序数并且\(\mathbb{N}=\omega.\; _\blacksquare\)
【推论】自然数皆小于最小无穷序数因而皆有限
\(\qquad\color{blue}{\forall n\in\mathbb{N}^+({\large\frac{1}{n}}>0),}\;\lim n=\sup\mathbb{N}\not\in\mathbb{N}\).
【评注】无穷大自然数意淫反数学,
\(\qquad\;\;\,\)吃狗屎滚驴叫卖\(\{\frac{1}{n}\}\)达到零．