\(\Huge^\star\color{red}{\textbf{ 孬种不敢面对的}\lim n\textbf{ 问题}}\)

elim

现代数学是从极限理论的严格化源起的.
因无穷操作无法用有限操作定义, 用无穷
操作定义极限必导致无穷递归, 循环定义.
一般地说,  极限的定义本质上不能是构造、
计算性的, 只能是非构造、分析性的.
所谓分析性定义是指一组判断准则, 精准
刻划了待定义概念的属性, 因而成为待定
义概念的定义．
现代分析中的 Weierstrass 极限定义就是
这样的判断准则. 根据该极限定义, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)
对\(\mathbb{R}\)(因而对\(\mathbb{N}\))而言不存在. 故\(\displaystyle\lim_{n\to\infty} n\)不是
自然数(详见这里)
【例】定义 \({\small a_1=1, a_{n+1}=}\frac{2+a_n}{1+a_n}\) 则\(\small\{a_n\}\)是
\(\quad\)有理数序列, \(\displaystyle\lim_{n\to\infty} a_n=\small\sqrt{2}\) 对\(\small\mathbb{Q}\)不存在.
\(\quad\)对大论域存在的极限未必存在于小论域．