求有一个根是 cos 9° 的次数最低的整系数多项式方程 f(x)=0

wintex

請問數學

天山草

\(f(x)=256 x^8-512 x^6+304 x^4-48 x^2+1\)

wintex

天山草 发表于 2025-5-25 23:21
\(f(x)=256 x^8-512 x^6+304 x^4-48 x^2+1\)

有沒有人工的解法？

luyuanhong

波斯猫猫

题：求有一个根是 cos9° 的次数最低的整系数多项式方程 f(x)=0.

思路：∵ cos36°=(1+√5)/4，∴ cos4θ=(1+√5)/4，即关于cosθ的

方程32(cosθ)^4-32(cosθ)^2+3=√5有一根为cos9°，

也就是方程32x^4-32x^2+3=√5有一根为cos9°，

两边平方并化简，得所求f(x)=256x^8-512x^6+304x^4-48x^2+1=0.

注：两次使用二倍角公式. 若用cos45°，将是10次方程.

luyuanhong

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