\(\huge\color{red}{\textbf{最小无穷序数}=\textbf{第一个极限序数}}\)

elim

首序数\(0 =\phi\)；序数\(u\)的后继序数是\(u+1=u\cup\{u\}\)
无最大元前段 \(\mathscr{U}=\{0,1,\ldots, u, u+1, u+2,\ldots\}\)
的后续序数是 \(u+\omega = \sup\mathscr{U}=\bigcup_{\;v\in\mathscr{U}} v=\bigcup\mathscr{U}.\)
其中\(u\)不是任何序数的后继. 此时称\(u+\omega\) 是极限序数.
取\(u=0\) 得 \(\omega = \sup\mathbb{N} = \mathbb{N}\) 是第一个极限序数. 因
\(\omega=\mathbb{N}\)是最小归纳集, 它没有归纳真子集, 故 \(\omega\)是最小
无穷序数. 它之前的序数皆有限序数. 下定理至此得证：
【定理】第一个极限序数 \(\omega\) 本身也是最小无穷序数.

楼上定理参见【基础集合论】董延闿著 第六章

春风晚霞

在实正整数列1，2，3，……\(\nu\)，\(\omega\)，\(\omega+1\)，\(\omega+2\)，……中，康托尔说“数\(\nu\)既表示把一个个单位放上去的确切计数，又表示它们所汇集成的整体“（参见康托尔著《超穷数理论基础》P42页19—20行）所谓把一个个单位放地去意即：数\(\nu\)的基数\(\nu=\overbrace{1+1+……+1}^{\displaystyle\lim_{n \to \infty}n个1}\)，数\(\nu\)的序数就是实正整数列1，2，3，……\(\nu\)，\(\omega\)，\(\omega+1\)，\(\omega+2\)，……中表示第\(\nu\)号。所以所以数\(\nu\)既是基数也是序数。正整数10既表自然数列1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……它是10号位置的自然数,也表示它值是10个单位。\(\aleph_0\)是可列集的势，它与\(\nu\)没有直接联系。\(\omega\)是第一个超穷正整数集的初始元，它没有直接前趋。所以数\(\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)既不是\(\aleph_0\)，也不是数\(\omega\)！elim主帖中的【【定理】\(\aleph_0\)，\(\omega\)不是任何自然数的后继】，说的倒是一句大实话！但以此证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\),确实像"因为女浴室中无男人，所以世间根本就没有男人"一样荒诞无稽。elim你不感到你的证明荒唐可笑吗?！

elim

孬种的贴子除了抱怨我没有教他集论，并无
实质论证或否证，视为搅局。将重发本主题.

春风晚霞

在实正整数列1，2，3，……\(\nu\)，\(\omega\)，\(\omega+1\)，\(\omega+2\)，……中，康托尔说“数\(\nu\)既表示把一个个单位放上去的确切计数，又表示它们所汇集成的整体“（参见康托尔著《超穷数理论基础》P42页19—20行）所谓把一个个单位放地去意即：数\(\nu\)的基数\(\nu=\overbrace{1+1+……+1}^{\displaystyle\lim_{n \to \infty}n个1}\)，数\(\nu\)的序数就是实正整数列1，2，3，……\(\nu\)，\(\omega\)，\(\omega+1\)，\(\omega+2\)，……中表示第\(\nu\)号。所以所以数\(\nu\)既是基数也是序数。正整数10既表自然数列1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……它是10号位置的自然数,也表示它值是10个单位。\(\aleph_0\)是可列集的势，它与\(\nu\)没有直接联系。\(\omega\)是第一个超穷正整数集的初始元，它没有直接前趋。所以数\(\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)既不是\(\aleph_0\)，也不是数\(\omega\)！elim主帖中的【【定理】\(\aleph_0\)，\(\omega\)不是任何自然数的后继】，说的倒是一句大实话！但以此证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\),确实像"因为女浴室中无男人，所以世间根本就没有男人"一样荒诞无稽。elim你不感到你的证明荒唐可笑吗?！

elim

孬种的贴子除了抱怨我没有教他集论，并无
实质论证或否证，视为搅局。将重发本主题.

春风晚霞

在实正整数列1，2，3，……\(\nu\)，\(\omega\)，\(\omega+1\)，\(\omega+2\)，……中，康托尔说“数\(\nu\)既表示把一个个单位放上去的确切计数，又表示它们所汇集成的整体“（参见康托尔著《超穷数理论基础》P42页19—20行）所谓把一个个单位放地去意即：数\(\nu\)的基数\(\nu=\overbrace{1+1+……+1}^{\displaystyle\lim_{n \to \infty}n个1}\)，数\(\nu\)的序数就是实正整数列1，2，3，……\(\nu\)，\(\omega\)，\(\omega+1\)，\(\omega+2\)，……中表示第\(\nu\)号。所以所以数\(\nu\)既是基数也是序数。正整数10既表自然数列1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，……它是10号位置的自然数,也表示它值是10个单位。\(\aleph_0\)是可列集的势，它与\(\nu\)没有直接联系。\(\omega\)是第一个超穷正整数集的初始元，它没有直接前趋。所以数\(\nu=\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)既不是\(\aleph_0\)，也不是数\(\omega\)！elim主帖中的【【定理】\(\aleph_0\)，\(\omega\)不是任何自然数的后继】，说的倒是一句大实话！但以此证明\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\notin\mathbb{N}\),确实像"因为女浴室中无男人，所以世间根本就没有男人"一样荒诞无稽。elim你不感到你的证明荒唐可笑吗?！

elim

孬种否证不了底层逻辑，因为它就是冯诺依曼构造
本身. 董延闿的书直说 \(\omega = \mathbb{N}\), 白痴还是懂不了.

春风晚霞

冯\(\cdot\)诺依曼自然数构成法\(u+1=u\cup\{u\}\)的“=”两边要么同时是数，要么同时是集合。决无一个“数”等于一个集合之理。并且“=”号数学含义是：”=“的左边是”=“右边的后继。而等式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}n\)是集合等式。而【对\(n\in\mathbb{N}\)显然亦有\(n=\{0,1,2,…\}\)】的“=”则表示n是集合\(\{0,1,2,…(n-1)\}\)后继，即集合\(\{0,1,2.…，n\}\)是集合\(\{0,1,2,…(n-1)\}\)的后继。虽然集合\(\{0,1,2,…\)\((n-1)\}\)\(\subsetneq\mathbb{N}\),但集合\(sup\mathbb{N}=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}=\)\(\mathbb{N}=\mathbb{N}\) .所以没有\(n<\mathbb{N}\)之说。当然也就没有\(\mathbb{N}\)\(\subsetneq\)\(\mathbb{N}\)之理！由于单增集列\(A_k=\{0,1,2，…k\}\)的极限集存在，并且\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}A_n=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\),所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\subseteq\mathbb{N}\)\(\land\mathbb{N}\subseteq\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\) .所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\) .

elim

春风晚霞 发表于 2025-5-29 23:18
冯\(\cdot\)诺依曼自然数构成法\(u+1=u\cup\{u\}\)的“=”两边要么同时是数，要么同时是集合。决无一个“数 ...

孬种不知道集合论是全部数学的基础
这话是什么意思啊, 哈哈. 凡数都是集
合! 只有集论白痴顽瞎才发楼上昏贴.

春风晚霞

       冯\(\cdot\)诺依曼自然数构成法\(u+1=u\cup\{u\}\)的“=”两边要么同时是数，要么同时是集合。决无一个“数”等于一个集合之理。并且“=”号数学含义是：“=”的左边是“=”右边的后继。等式\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}n\)是集合等式。而对\(n\in\mathbb{N}\)显然亦有\(n=\{0,1,2,…\}\)的“=”则表示集合n是集合\(\{0,1,2,…(n-1)\}\)后继，即集合\(\{0,1,2.…，n\}\)是集合\(\{0,1,2,\)\(…(n-1)\}\)的后继。虽然集合\(\{0,1,2,\)\(…(n-1)\}\)\(\subsetneq\mathbb{N}\),但集合\(sup\mathbb{N}=\)\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\displaystyle\bigcup_{n\in\mathbb{N}}=\)\(\mathbb{N}\) .所以没有\(n<\mathbb{N}\)之说(数与集合的关系只有\(\in\)或\(\notin\)两种情形，而无“<”、“>”关系）。当然也就更没有\(\mathbb{N}\)\(\subsetneq\)\(\mathbb{N}\)之理！因为集合\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n=\)\(\mathbb{N}\) ，所以\((\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\)\(\subseteq\mathbb{N})\)\(\land(\mathbb{N}\subseteq\displaystyle\lim_{n \to \infty}n)\)（两集合相等的充分必要条件）. 所以\(\displaystyle\lim_{n \to \infty}n\in\mathbb{N}\) .