我们应该如何用傅里叶法来巧妙的证明 e 是一个无理数？

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我们应该如何用傅里叶法来巧妙的证明 e 是一个无理数？

原创  一座宁静的书屋   一座宁静的书屋  2025 年 06 月 15 日 16:27  贵州


约瑟夫·傅里叶雕像

欧拉常数 e 是数学中的一个重要数字，出现在许多场合。举个例子，这里有两个关于 e 的重要性质。首先，下面这个简单的一阶微分方程适用于从粒子数增长到放射性衰变的许多情况：



该方程的唯一非平凡解（我们将忽略平凡解 y = 0 ）是指数函数 e 的 x 次方：



其次，e 涉及欧拉公式，而欧拉公式是复分析（复数研究）的基石：



如果我们用 π 代替 θ ，我们就会得到欧拉恒等式：



这个公式将 e 置于数学的核心位置。它将数学中可以说是最重要的三个常数 π 、e 和 i 关联在一个公式中。而事实证明，e 是一个无理数，在本文中，我们将探讨傅立叶对此的巧妙证明。

傅里叶证明

约瑟夫·傅立叶的证明是一个反证法。我们首先假设 e 是有理数，这意味着，对于某些正整数 a 和 b ，我们有：



我们将证明这会导致矛盾，因此不可能为真。这与我们证明 2 的平方根为无理数时所用的方法类似，尽管经过这一初始步骤后，这两个证明就截然不同了。

该证明依赖于指数函数的麦克劳林展开式，其公式如下：



我们可以使用它来找到 e 的表达式，只需将 x 设为 1 即可：



阶乘的性质

在开始证明之前，我们先来看一下阶乘的几个性质，它们稍后会用到。n 的阶乘当然是 n 与每个小于 n 的正整数的乘积：



有一个特殊规则，0！等于 1 。

任何阶乘都能被任何较小的阶乘整除。例如，7! 能被 4! 整除，因为最小的四项相同，所以它们正好相消：



因此一般来说，如果 n ≥ m ，我们可以像这样写出阶乘的商：



它始终是一个整数，因为乘积中的每个项都是整数。我们稍后会用到这个事实。

如果 n < m ，我们得到一个有理分数（它总是一除以整数）：



继续证明

到目前为止，我们已经证明，如果 e 是有理数，则以下结论必定为真（其中 a 和 b 是正整数）：



我们当然希望证明当 a 和 b 为正整数时，这个等式不成立。这样就能证明 e 是无理数。

将两边乘以 b! 将会很有用：



看右边，每个项都有一个分母，分母是阶乘，并且阶乘随着每个后续项的增加而增大。我们可以将这些项分成两组——分母小于或等于 b! 的项和分母大于 b! 的项。我们所做的只是对项进行分组，并没有改变任何东西：



我们将其写为：



我们可以逐一看一下这些术语。P 可以简化如下：



我们利用了 b! 等于 b(b-1)! 的事实，然后从上到下消去了 b 。由于 a 是整数，且任何阶乘都是整数，因此 P 也是整数。正如我们将看到的，这就是我们需要了解的关于 P 的全部内容。

现在回答问题：



右边的每个项都具有 n!/m! 的形式，其中 n ≥ m 。我们之前看到，这总是计算结果为整数。这意味着 Q 是有限整数集的和，因此 Q 必定是整数。

因此，我们证明了，如果 a 和 b 是整数，则 P 和 Q 也必定是整数。如果 P 等于 Q 加 R ，则 R 也必定是整数。

如果我们可以证明 R 不是整数，那么就会产生矛盾。在这种情况下，P 不可能是整数，所以 a 和 b 不可能同时是整数，因此 e 不可能是有理数。

完成傅里叶证明

从上面我们可以得出：



这是一个无穷级数，那么如何证明它不是整数呢？目前还没有明显的解决方法，但幸运的是，傅里叶找到了一个巧妙的方法来证明，无论结果是什么，它都不可能为整数。

首先，由于 b 是正整数，因此大于 0 ，我们可以肯定地说 R > 0 。

我们能找到一个上限吗？让我们展开前几项，利用我们之前发现的阶乘规则，当 n < m 时，n !/m! 成立。第一项是：



第二项是：



傅里叶现在采用了一种巧妙的简化方法。由于 (b + 2) 大于 (b + 1) ，如果我们将 (b + 1) 代入分母，分数就会变大。因此我们可以得出：



这又给了我们以下结果：



第三项是：



我们可以做同样的事情，用 (b + 1) 替换 (b + 2) 和 (b + 3) ，并应用相同的逻辑：



如果我们对每一项都这样做，我们可以说：



请注意，R 严格小于总和，因为上述公式中除第一个项之外的每个项都被高估了。

由于 b 出现在每个分母中，所以 b 越小，和就越大。我们知道 b 是一个正整数，所以上述等式的最大值是 b 为 1 时的值。在这种情况下，和就变成了：



这是一个众所周知的几何级数，其和为 1。R 必定小于这个最大值。由于我们已经知道 R 大于 0 ，因此有：



因为不存在大于零但小于一的整数，所以 R 不可能是整数。正如我们已经证明的，这意味着 e 不可能是有理数。

一座宁静的书屋

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确实是很奇妙的证明！