这题怎么解？

luyuanhong

这题怎么解？

来源  张广林数学角  2025 年 05 月 27 日 20:51  江西





张广林数学角

波斯猫猫

思路：扣题材，不发挥，原汁原味，简洁明快.

由b=(a+c)/(1-ac)，易得b^2+1=(a^2+1)(c^2+1)/(1-ac)^2.

则1/(a^2+1)-1/(b^2+1)+1/(c^2+1)

=(a^2+c^2+2)/(a^2+1)(c^2+1)-(1-ac)^2/(a^2+1)(c^2+1)

=1+2ac(1-ac)/(a^2+1)(c^2+1)≤1+2ac(1-ac)/(ac+1)^2.

令x=ac，则由x(1-x)/(x+1)^2=t，有(t+1)x^2+(2t-1)x+t=0，

易解得t≤1/8，即ac(1-ac)/(ac+1)^2≤1/8.

故1/(a^2+1)-1/(b^2+1)+1/(c^2+1)≤5/4.

波斯猫猫

3，求最大值的正确做法如下(为何能提前知道sin(2α+γ)=1？)：
y=-(sinγ)^2+sin(2α+γ)sinγ+1
=-[sinγ-sin(2α+γ)/2]^2+[4+(sin(2α+γ))^2]/4  (γ为锐角)
≤5/4 (仅当sin(2α+γ)=1，即γ=α=30°时取等号）.
注：若sin(2α+γ)=-1，则sinγ=-1/2，这与γ为锐角不符.